第13期 双曲线-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ．　４．ｘ ２ ９＋ ｙ２ ５ ＝１；　５．１． ６．解：因为ＰＦ１⊥ＰＦ２，所以在Ｒｔ△Ｆ１ＰＦ２中， ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２｜ＰＯ｜＝１０，所以ｃ＝５． 设Ｆ１（－５，０），Ｆ２（５，０）， 所以｜ＰＦ１｜＝ 槡４５，｜ＰＦ２｜＝ 槡２５． 故２ａ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝ 槡６５，所以ａ＝ 槡３５， 则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２０．故椭圆的标准方程为ｘ ２ ４５＋ ｙ２ ２０＝１． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｃ．　４．３；　５．２或４． ６．解：因为椭圆的焦点在ｘ轴上，对称轴为坐标轴， 所以可设其方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）．由椭圆过点 （５，０），即其一个顶点坐标为（５，０），所以 ａ＝５．又 ｅ＝ ２ ５，所以ｃ＝２，所以ｂ ２＝ａ２－ｃ２＝２５－４＝２１，所以椭 圆的标准方程为 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ２１＝１． Ａ组 一、单项选择题 １～４　ＤＢＣＤ　５～８　ＢＣＣＤ 二、填空题 ９．槡６３；　１０． ｘ２ ８＋ ｙ２ ４ ＝１． 三、解答题 １１．解：由题设椭圆的焦点在ｙ轴上， 设方程为： ｙ２ ａ２ ＋ｘ ２ ｂ２ ＝１， 由题得 ｃ＝３， ｃ ａ ＝ １ ２， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２ { ， 解得 ａ＝６， ｂ＝ 槡３３ { ， 所以椭圆标准方程为 ｘ２ ２７＋ ｙ２ ３６＝１． １２．解：（１）设所求椭圆方程为ｍｘ２＋ｎｙ２ ＝１（ｍ＞ ０，ｎ＞０，ｍ≠ｎ），由Ａ（槡３，－２）和Ｂ（－ 槡２３，１）两点在 椭圆上可得 ｍ·（槡３） ２＋ｎ·（－２）２ ＝１， ｍ·（－ 槡２３） ２＋ｎ·１２ ＝１{ ， 即 ３ｍ＋４ｎ＝１， １２ｍ＋ｎ＝１{ ，解得 ｍ＝ １１５， ｎ＝ １５ { ． 故所求椭圆的标准方程为 ｘ２ １５＋ ｙ２ ５ ＝１． （２）因为ａ＝４，ｃ＝槡１５，所以ｂ ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝１， 所以当焦点在ｘ轴上时，椭圆的标准方程是ｘ ２ １６＋ｙ ２ ＝１； 当焦点在ｙ轴上时，椭圆的标准方程是ｙ ２ １６＋ｘ ２＝１． （３）因为所求的椭圆与椭圆ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１的焦点相 同， 所以其焦点在ｘ轴上，且ｃ２ ＝５． 设所求椭圆的标准方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）． 因为所求椭圆过点Ｐ（－３，２），所以有 ９ ａ２ ＋４ ｂ２ ＝１， ① 又ａ２－ｂ２ ＝ｃ２ ＝５， ② 由①②解得ａ２ ＝１５，ｂ２ ＝１０． 故所求椭圆的标准方程为 ｘ２ １５＋ ｙ２ １０＝１． １３．解：（１）因为ａ＝５，ｂ＝３，所以ｃ＝４． 又｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＝１０， ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝８， 所以△Ｆ１ＰＦ２的周长为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＋｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ａ ＋２ｃ＝１０＋８＝１８． （２）设｜ＰＦ１｜＝ｔ１，｜ＰＦ２｜＝ ｔ２，则ｔ１＋ｔ２ ＝１０． ① 在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理可 得 ｔ２１＋ｔ ２ ２－２ｔ１ｔ２ｃｏｓ６０°＝８ ２．② 由①２－②，得ｔ１ｔ２ ＝１２， 所以Ｓ△Ｆ１ＰＦ２ ＝ １ ２ｔ１ｔ２ｓｉｎ６０°＝ １ ２×１２× 槡３ ２ ＝ 槡３３． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＤ；　２．ＡＢＣ；　３．ＣＤ；　４．ＡＢＤ． 二、填空题 ５．ｘ ２ ４９＋ ｙ２ １３＝１（ｙ≠０）；　６． 槡３２ ２． 三、解答题 ７．解：（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），由椭圆定义可知，点Ｐ的轨迹 Ｃ是以（０，－槡３），（０，槡３）为焦点，长半轴为２的椭圆， 它的短半轴ｂ＝ ２２－（槡３）槡 ２ ＝１， 故曲线Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ ２ ４ ＝１． （２）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 联立方程 ｘ２＋ｙ ２ ４ ＝１， ｙ＝ｋｘ＋１ { ， 消去ｙ并整理得（ｋ２＋４）ｘ２＋２ｋｘ－３＝０． 其中Δ＝４ｋ２＋１２（ｋ２＋４）＞０恒成立． 故ｘ１＋ｘ２ ＝－ ２ｋ ｋ２＋４ ，ｘ１ｘ２ ＝－ ３ ｋ２＋４ ． 若 →ＯＡ⊥ →ＯＢ，即ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝０． 而ｙ１ｙ２ ＝ｋ ２ｘ１ｘ２＋ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋１， 于是ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－ ３ ｋ２＋４ － ３ｋ ２ ｋ２＋４ － ２ｋ ２ ｋ２＋４ ＋１＝０， 化简得 －４ｋ２＋１＝０，所以ｋ＝±１２． ８．解：（１）因为２ａ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝６，故ａ＝３． 在Ｒｔ△ＰＦ１Ｆ２中， ｜Ｆ１Ｆ２｜＝ ｜ＰＦ２｜ ２－｜ＰＦ１｜槡 ２ ＝ 槡２５， 故椭圆的半焦距ｃ＝槡５，从而ｂ ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝４， 所以椭圆Ｃ的标准方程为ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１． （２）设Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）． 圆的方程为（ｘ＋２）２＋（ｙ－１）２ ＝５， 所以圆心Ｍ的坐标为（－２，１）． 从而可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋１， 代入椭圆Ｃ的方程