第12期 椭圆-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 （上接第２版） （３）设Ｍ（ｘ，ｙ），由题得ＯＭ⊥ＡＢ，即ＯＭ⊥ＭＰ． 当直线ＯＭ的斜率和直线ＭＰ的斜率都存在时， 有ｋＯＭ·ｋＭＰ ＝－１，即 ｙ ｘ× ｙ－２ ｘ＋１＝－１， (化简得 ｘ＋ )１２ ２ ＋（ｙ－１）２ ＝ ５４， 当直线ＯＭ的斜率不存在时，点Ｍ（０，２）满足上式， 当直线ＭＰ的斜率不存在时，点Ｍ（－１，０）亦满足上式， 所以点Ｍ (的轨迹方程为 ｘ＋ )１２ ２ ＋（ｙ－１）２ ＝ ５４． ２２．解：（１）设圆心为Ｍ（ｍ，０）（ｍ∈Ｚ）， 由于圆与直线４ｘ＋３ｙ－２９＝０相切，且半径为５， 所以 ｜４ｍ－２９｜ ５ ＝５，解得ｍ＝ ２７ ２（舍）或ｍ＝１， 故所求的圆的标准方程是（ｘ－１）２＋ｙ２ ＝２５． （２）圆心（１，０）到直线ａｘ－ｙ＋５＝０的距离 ｄ＝｜ａ·１－０＋５｜ ａ２＋槡 １ ＝｜ａ＋５｜ ａ２＋槡 １ ＜５， 解得ａ＞ ５１２或ａ＜０（舍去）． 所以实数ａ (的取值范围是 ５１２，＋ )∞ ． （３）假设符合条件的实数ａ存在， 因为直线ＡＢ的斜率是ａ， 则直线ｌ的斜率为 －１ａ， 设ｌ的方程为ｙ＝－１ａ（ｘ＋２）＋４，即ｘ＋ａｙ＋２－４ａ＝０， 由于直线ｌ垂直平分弦ＡＢ，故圆心（１，０）必在ｌ上， 所以１＋０＋２－４ａ＝０，解得ａ＝ ３４， 经检验ａ＝ ３４时，直线ａｘ－ｙ＋５＝０与圆有两个交点， 故存在实数ａ＝３４，使得弦ＡＢ的垂直平分线ｌ过点Ｐ（－２，４）． 一、单项选择题 １～４　ＡＡＣＡ　５～８　ＣＢＡＡ 二、多项选择题 ９．ＡＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＢＤ； １２．ＢＤ． 三、填空题 １３．槡３ｘ－ｙ－槡３－１＝０；　１４．－１； １５．平行；　１６．槡６３． 四、解答题 １７．解：（１）由题可设ｂ＝λａ，所以 ２λ＝－４， －λ＝２， ３λ＝ｘ { ， 解得ｘ＝－６． （２）ａ＋ｂ＝（－２，１，３＋ｘ）， 因为（ａ＋ｂ）⊥ｃ，所以（ａ＋ｂ）·ｃ＝０， 即 －２－ｘ＋２（３＋ｘ）＝０，解得ｘ＝－４． １８．解：（１）直线ｌ过点（ｍ，０），（０，４－ｍ）， 则 ４－ｍ－０ ０－ｍ ＝２，解得ｍ＝－４． （２）由ｍ＞０，４－ｍ＞０，得０＜ｍ＜４， 则Ｓ＝ｍ（４－ｍ）２ ＝ －（ｍ－２）２＋４ ２ ， 当ｍ＝２时，Ｓ有最大值，故直线ｌ的方程为ｘ＋ｙ－２＝０． １９．解：取ＰＣ的中点Ｅ，连接ＮＥ，ＡＣ，则→ →  →ＭＮ＝ＥＮ－ＥＭ． 由题意知，→  ＥＮ＝ １２ →  ＣＤ＝ １２ →ＢＡ＝－１２ →ＡＢ， → → →ＥＭ＝ＰＭ－ＰＥ＝ ２３ →ＰＣ－１２ →ＰＣ＝ １６ →ＰＣ， → → → → → →ＰＣ＝ＡＣ－ＡＰ＝ＡＢ＋ＡＤ－ＡＰ， 所以→ＭＮ＝－１２ →ＡＢ－１６（ → → →ＡＢ＋ＡＤ－ＡＰ） ＝－２３ →ＡＢ－１６ →ＡＤ＋１６ →ＡＰ， 所以ｘ＝－２３，ｙ＝－ １ ６，ｚ＝ １ ６． ２０．解：（１）设点Ｃ（ｘ，ｙ）， 由题意得 （ｘ＋１）２＋ｙ槡 ２ ＝槡２ （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２． 两边平方整理得（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝８． 故点Ｃ的轨迹是一个圆，其方程为（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝８． （２）由（１）得圆心为Ｍ（３，０），半径ｒ＝ 槡２２． 若直线ｌ的斜率不存在，则方程为ｘ＝０， 圆心到直线的距离ｄ＝３≠ 槡２２，故该直线与圆不相切； 若直线ｌ的斜率存在，设为ｋ，则直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１． 由直线和圆相切得：ｄ＝｜３ｋ＋１｜ １＋ｋ槡 ２ ＝ 槡２２， 整理得ｋ２＋６ｋ－７＝０， 解得ｋ＝１或ｋ＝－７． 故所求直线的方程为ｙ＝ｘ＋１或 ｙ＝－７ｘ＋１． ２１．解：如图１，以Ｄ为原点，ＤＡ为单 位长度建立空间直角坐标系Ｄｘｙｚ，则→ＤＡ ＝（１，０，０），→ＣＣ１ ＝（０，０，１）．连接 ＢＤ， Ｂ１Ｄ１，在平面 ＢＢ１Ｄ１Ｄ中，延长 ＤＰ交 Ｂ１Ｄ１于Ｈ．设 →ＤＨ＝（ｍ，ｍ，１）（ｍ＞０）， 由已知〈→ＤＨ，→ＤＡ〉＝６０°， 又→ＤＡ·→ → →ＤＨ ＝｜ＤＡ｜｜ＤＨ｜ｃｏｓ〈→ＤＡ，→ＤＨ〉，可得 ２ｍ ＝ ２ｍ２＋槡 １，解得ｍ＝槡 ２ ２．所以 →ＤＨ＝ 槡２ ２， 槡２ ２，( )１． （１）因为ｃｏｓ〈→ＤＨ，→ＣＣ１〉＝槡２２， 所以〈→ＤＨ，→ＣＣ１〉＝４５°． 即ＤＰ与ＣＣ１所成的角为４５°． （２）平面ＡＡ１Ｄ１Ｄ的一个法向量是 →  ＤＣ＝（０，１，０）． 因为ｃｏｓ〈→ＤＨ，→  ＤＣ〉＝ １２，所以〈 →ＤＨ，→  ＤＣ〉＝６０°． 所以ＤＰ与平面ＡＡ１Ｄ１Ｄ所成的角为３０°． ２２．解：圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－４ｘ－１４ｙ＋４５＝０可化为： （ｘ－２）２＋（ｙ－７）２ ＝８． （１）点Ｐ（ｍ，ｍ＋１）在圆Ｃ上， 所以ｍ２＋（ｍ＋１）２－４