第9期 直线与圆,圆与圆的位置关系-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ． ４．（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１；　５．４． ６．解：设圆（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝９的圆心为Ｃ， 则Ｃ（３，０），圆的半径为３． 因为Ｐ为弦ＭＮ的中点，所以ｋＣＰ·ｋＭＮ ＝－１． ｋＣＰ ＝ １－０ １－３＝－ １ ２，所以ｋＭＮ ＝２． 所以直线ＭＮ的方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ． ４．ｘ－ｙ＋１＝０；　５．（－∞，－１３）． ６．解：（１）因为ｘ２＋ｙ２ ＝０，所以ｘ＝０且ｙ＝０． 即方程表示一个点（０，０）． （２）原方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝５． 即方程表示圆心为（１，１），半径为槡５的圆． （３）原方程可化为（ｘ＋ａ）２＋（ｙ＋ｂ）２ ＝ａ２＋ｂ２， 当ａ＝ｂ＝０时，方程表示一个点（０，０）， 当ａ２＋ｂ２≠０时，方程表示圆心为（－ａ，－ｂ），半径 为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆． Ａ组 一、单项选择题　１～４　ＣＢＤＢ　５～８　ＡＣＡＤ 二、填空题 ９．（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝２；　１０ (． －∞， )１２ ． 三、解答题 １１．解：设圆的一般方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０， 由题意知当ｙ＝槡３时，关于ｘ的方程ｘ ２＋Ｄｘ＋３＋ Ｆ＋槡３Ｅ＝０的两个根为０，２， 因此由根与系数的关系得 ２＋０＝－Ｄ，Ｆ＋３＋槡３Ｅ＝２×０， 由（１，０）在圆上可得 １＋Ｄ＋Ｆ＝０， 所以Ｄ＝－２，Ｅ＝－槡４３３，Ｆ＝１， 所以圆的方程为 ｘ２＋ｙ２－２ｘ－ 槡４３３ｙ＋１＝０． １２．解：（１）当ＡＢ为直径时，过 Ａ，Ｂ的圆的半径最小，从而周长最 小，即Ａ，Ｂ中点（０，１）为圆心， 半径ｒ＝ １２｜ＡＢ｜＝槡１０， 则周长最小的圆的方程为ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝１０． （２）ＡＢ的斜率为ｋ＝－３， 则ＡＢ的垂直平分线的方程是ｙ－１＝ １３ｘ， 即ｘ－３ｙ＋３＝０， 由 ｘ－３ｙ＋３＝０， ２ｘ－ｙ－４＝{ ０得 ｘ＝３，ｙ＝２{ ， 即圆心坐标是Ｃ（３，２）， ｒ＝｜ＡＣ｜＝ （３－１）２＋（２＋２）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以圆的方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２ ＝２０． １３．（１）证明：因为圆心Ｑ的坐标为（ｍ－１，３ｍ）， 令 ｘ＝ｍ－１， ｙ＝３ｍ{ ， 消去ｍ，得ｙ＝３ｘ＋３， 所以圆心Ｑ在定直线上，直线过点Ｐ（－２，－３）． （２）解：以ＰＱ为直径的圆过原点，则ＯＰ⊥ＯＱ， 所以 ３ ２· ３ｍ ｍ－１＝－１，解得ｍ＝ ２ １１， 即当ｍ＝ ２１１时，以ＰＱ为直径的圆过原点． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＢ；　２．ＡＣ；　３．ＡＢＣ；　４．ＡＣＤ． 二、填空题 ５．（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２ ＝５； ６．ｘ２ (＋ ｙ±槡３)３ ２ ＝ ４３． 三、解答题 ７．解：（１）设圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则 由已知得 １２＋０２＋Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ４２＋０２＋４Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ６２＋（－２）２＋６Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－５， Ｅ＝７， Ｆ＝４ { ． 故圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２－５ｘ＋７ｙ＋４＝０． （２）由圆的对称性可知，圆心Ｐ的横坐标为１＋４２ ＝ ５ ２， 故圆心 (Ｐ ５２， )２ ， 故圆Ｐ的半径为ｒ＝｜ＡＰ｜ (＝ １－ )５２ ２ ＋（０－２）槡 ２ ＝ ５２， 故圆Ｐ (的标准方程为 ｘ－ )５２ ２ ＋（ｙ－２）２＝２５４． ８．解：（１）设圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２， 得到圆心坐标为（ａ，ｂ），半径为ｒ， 将Ａ与Ｂ的坐标代入圆方程得： （－１－ａ）２＋（１－ｂ）２ ＝ｒ２， （－２－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２， 消去ｒ，整理得ａ＋３ｂ＋３＝０， ① 将圆心坐标代入ｘ＋ｙ－１＝０ 得ａ＋ｂ－１＝０， ② 联立①②解得ａ＝３，ｂ＝－２， ｒ２ ＝（－１－３）２＋（１＋２）２ ＝２５， 则圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｎ（ｘ１，ｙ１），Ｇ（ｘ，ｙ）， 因为线段ＭＮ的中点是Ｇ， 所以由中点公式得 ｘ１＋３ ２ ＝ｘ， ｙ１＋４ ２ ＝ｙ { ， ｘ１ ＝２ｘ－３，ｙ１ ＝２ｙ－４{ ． 因为Ｎ在圆Ｃ上，所以（２ｘ－６）２＋（２ｙ－２）２＝２５， 即（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４， 所以点Ｇ的轨迹方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４． ９．（１）证明：把圆的方程化为 ｘ２＋ｙ２＋２ｙ－４＋ａ（－２ｘ－４ｙ＋４）＝０， 令ｘ２＋ｙ２＋２ｙ－４＝０且 －２ｘ－４ｙ＋４＝０， 解得ｘ＝２，ｙ＝０或ｘ＝－２５，ｙ＝ ６ ５． 无论ａ取何值圆Ｃ经过两个定点Ａ（２，０）， Ｂ －２５，( )６５ ． （２）解：设圆心坐标为（ｘ，ｙ）， 则有ｘ＝ａ，ｙ＝２ａ－１消去ａ得ｙ＝２ｘ－１， 故当ａ变化时，圆Ｃ