10期 第二章 圆锥曲线综合(一)-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 有关直线与圆锥曲线的位置关系问题是圆锥曲线 中的重要题型，主要涉及的问题有参数的范围问题、交 点的个数问题、弦中点的轨迹问题及弦长问题等．下面 举例说明，供同学们参考． 题型一：参数的范围问题 例１若直线ｙ＝ｋｘ＋１与焦点在ｘ轴上的椭圆ｘ ２ ９＋ ｙ２ ｍ ＝１总有公共点，求实数ｍ的取值范围． 分析一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与 圆锥曲线的位置关系的充要条件可求． 解法一：由椭圆方程及椭圆的焦点在ｘ轴上，知０＜ ｍ＜９． 由 ｙ＝ｋｘ＋１， ｘ２ ９＋ ｙ２ ｍ ＝１ { ，消去ｙ得 （ｍ＋９ｋ２）ｘ２＋１８ｋｘ＋９（１－ｍ）＝０． 又因为直线与椭圆总有公共点，所以上述方程中的 判别式Δ≥０对一切实数ｋ成立， 即（１８ｋ）２－４·（ｍ＋９ｋ２）·９（１－ｍ）≥０，亦即９ｋ２ ≥１－ｍ对一切实数ｋ成立． 所以１－ｍ≤０，即ｍ≥１． 故ｍ的取值范围为［１，９）． 分析二：由于直线过定点（０，１），而直线与椭圆总有 公共点，所以定点（０，１）必在椭圆的内部或边界上． 解法二：由椭圆的方程及椭圆的焦点在ｘ轴上，知０ ＜ｍ＜９． 又因为直线与椭圆总有公共点，所以直线所经过的 定点（０，１）必在椭圆的内部或边界上． 所以 ０２ ９＋ １２ ｍ≤１，即ｍ≥１． 故ｍ的取值范围为［１，９）． 题型二：直线与圆锥曲线的交点问题 例２试讨论直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋１与双曲线Ｃ：ｘ２－ｙ２＝ １的公共点的个数． 解析：由方程组 ｙ＝ｋｘ＋１， ｘ２－ｙ２ ＝１{ ，可得 （１－ｋ２）ｘ２－２ｋｘ－２＝０． （１）当ｋ＝±１时，ｘ＝１，此时直线与双曲线交于 一点． （２）当ｋ≠±１时，Δ＝４ｋ２＋８（１－ｋ２）＝８－４ｋ２， 若Δ＞０，则 －槡２＜ｋ＜槡２；若Δ＝０，则ｋ＝±槡２； 若Δ＜０，则ｋ＜－槡２或ｋ＞槡２． 综上所述，当 ｋ＝±槡２时，直线与双曲线相切于一 点；ｋ＝±１时，直线与双曲线相交于一点；ｋ＜－槡２或ｋ ＞槡２时，直线与双曲线没有公共点；１＜ｋ＜槡２或－１＜ ｋ＜１或－槡２＜ｋ＜－１时，直线与双曲线有两个公共点． 题型三：弦中点的轨迹问题 例３过点Ａ（２，１）的直线与双曲线ｘ２－ｙ ２ ２＝１相交 于两点Ｐ１，Ｐ２，求线段Ｐ１Ｐ２中点的轨迹方程． 解析：设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）， 则 ｘ２１－ ｙ２１ ２ ＝１，　　① ｘ２２－ ｙ２２ ２ ＝１， { ② ② －①，得 （ｘ２－ｘ１）（ｘ１＋ｘ２）＝ （ｙ２－ｙ１）（ｙ１＋ｙ２） ２ ． 当ｘ１≠ｘ２时， ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＝ ２（ｘ１＋ｘ２） ｙ１＋ｙ２ ． 设Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ（ｘ，ｙ），则ｋＰ１Ｐ２ ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ＝２ｘｙ． 又ｋＡＭ ＝ ｙ－１ ｘ－２，而Ｐ１，Ａ，Ｍ，Ｐ２共线， 所以ｋＰ１Ｐ２ ＝ｋＡＭ，即 ｙ－１ ｘ－２＝ ２ｘ ｙ． 化简，得Ｍ的轨迹方程是２ｘ２－ｙ２－４ｘ＋ｙ＝０． 当ｘ１ ＝ｘ２时，即Ｍ（２，０），也满足上述方程． 故线段Ｐ１Ｐ２中点的轨迹方程为２ｘ ２－ｙ２－４ｘ＋ｙ＝０． 题型四：弦长问题 例４已知点Ａ（－槡３，０）和Ｂ（槡３，０），动点Ｃ到Ａ，Ｂ 两点的距离之差的绝对值为２，点Ｃ的轨迹与直线ｙ＝ｘ －２交于Ｄ，Ｅ两点，求线段ＤＥ的长． 解析：设点Ｃ（ｘ，ｙ），则｜ＣＡ｜－｜ＣＢ｜＝±２． 根据双曲线的定义，可知点 Ｃ的轨迹是双曲线，易 求点Ｃ的轨迹方程是ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１． 由 ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１， ｙ＝ｘ－２ { ， 消去ｙ，得ｘ２＋４ｘ－６＝０． 因为Δ＝１６＋２４＞０，所以直线与双曲线有两个交点． 设交点为Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝－４，ｘ１ｘ２ ＝－６． 故｜ＤＥ｜＝ （ｘ１－ｘ２） ２＋（ｙ１－ｙ２）槡 ２ ＝槡２· （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝４槡５． ! !" #$% 书 定点问题往往涉及的知识面较广、方法灵活多样， 一般以压轴题出现，解题时应根据问题的题设特点灵活 采用相应的策略，下面举例说明，供同学们复习时参考． 例１椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为 １ ２，其左焦点到点Ｐ（２，１）的距离为槡１０． （１）求椭圆Ｃ的标准方程； （２）若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点 （Ａ，Ｂ不是左、右顶点），且以ＡＢ为直径的圆过椭圆Ｃ的 右顶点．求证：直线ｌ过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（１）由题知ｅ＝ｃａ＝ １ ２；左焦点（－ｃ，０）到点 Ｐ（２，１）的距离为ｄ＝ （２＋ｃ）２＋１槡 ２ ＝槡１０． 所以ａ２ ＝４，ｂ２ ＝３，ｃ２ ＝１． 所以椭圆Ｃ的标准方程为ｘ ２ ４＋ ｙ２ ３ ＝１． （２）设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），由 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ４＋ ｙ２ ３ ＝ { １