9期 抛物线,直线与圆锥的位置关系-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 在抛物线方程中含有唯一的参数 ｐ，所以我们要想 学好抛物线，就必须对参数ｐ进行灵活的理解掌握，深究 其几何意义，特别是ｐ，２ｐ，１２ｐ的几何意义，并且运用它 们的几何意义解决问题． 一、参数ｐ的几何意义 如图１抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ，焦 点坐标为 １ ２ｐ，( )０，准线方程为 ｘ＝－１２ｐ，２ｐ，ｐ， ｐ ２的几何意义 分别为：２ｐ表示通径，即通过焦 点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两 点的线段长，ｐ表示焦点到准线的距离，ｐ２表示焦点到 顶点的距离或顶点到准线的距离． 例１已知抛物线的方程为ｙ＝３ｘ２，则抛物线的焦点 到准线的距离为 ． 分析：由抛物线ｘ２＝２ｐｙ的性质可知，抛物线的焦点 到准线的距离是ｐ，所以要求这个距离需要先把抛物线 转化为标准方程，然后求得ｐ即可． 解：把抛物线的方程化为标准方程得ｘ２ ＝ １３ｙ， 因为２ｐ＝ １３，所以ｐ＝ １ ６， 因为抛物线的焦点到准线的距离为ｐ， 所以抛物线的焦点到准线的距离为 １ ６． 点评：解决本题的关键是把方程化为标准方程，然 后按照题意明确抛物线的焦点到准线的距离与ｐ的关系 即可轻松获解． 例２已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０，其中ａ为实 数，且ａ＞０，抛物线的准线方程为 ｘ＝－３，则 ａ等于 ． 分析：已知抛物线的准线方程，则可以求得抛物线 的标准方程，然后对比现有的抛物线方程，可得参数 ａ， 或者把现有的抛物线方程化为标准方程求得准线方程， 令其为 －３，也可解得参数ａ． 解：已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０化为标准形式 得ｙ２ ＝ １ａｘ， 所以抛物线的准线方程为ｘ＝－１４ａ， 所以 －１４ａ＝－３，解得ａ＝ １ １２． 点评：分析中的两种解题思路都可以实现目标，前 提是建立在对抛物线的标准方程和参数ｐ的几何意义完 全领会的基础上，所以需要大家认真掌握参数 ｐ的几何 意义． 二、关于参数ｐ的应用 例３已知抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ，过抛物线的焦 点且垂直于抛物线对称轴的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点， 则｜ＡＢ｜等于 ． 分析：直线与抛物线交于 Ａ，Ｂ两点，由直线方程和 抛物线方程解得两点坐标从而求得｜ＡＢ｜或者考虑利用 抛物线的定义求得ＡＦ，ＢＦ两段的长，求和即可． 解：由题意，抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ， 所以ｐ＝６， 因为直线过焦点且垂直于ｘ轴， 所以｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝ｐ＋ｐ＝２ｐ， 所以｜ＡＢ｜＝１２． 点评：利用分析中的第一种方法可以求解但是相对 于第二种解法还是显得稍微复杂，所以利用参数 ｐ的意 义解题很简便．希望同学们注意领会． 例４如图２，过抛物线 ｙ２ ＝ ３ｘ的焦点的直线ｌ依次交抛物线 及其准线于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，若｜ＢＣ｜ ＝２｜ＢＦ｜，则 ｜ＡＦ｜等于 ． 分析：首先分析 ｜ＢＣ｜＝ ２｜ＢＦ｜所包含的信息，结合抛物线的定义求得直线 ＡＢ 的倾斜角，利用焦点到准线的距离为ｐ＝３２求得Ａ到准 线的距离也就是ＡＦ． 解：由抛物线的定义，过Ａ点作ＡＤ垂直于准线，垂足 为Ｄ，过Ｂ点作ＢＥ垂直于准线，垂足为Ｅ，准线与ｘ轴的 交点为Ｈ， 则由题｜ＢＣ｜＝２｜ＢＦ｜， 所以｜ＢＣ｜＝２｜ＢＥ｜，可得∠ ＢＣＥ＝３０°， 由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜， 在△ＡＣＤ中，｜ＡＣ｜＝２｜ＡＤ｜＝２｜ＡＦ｜， 所以Ｆ为ＡＣ的中点，ＨＦ为△ＡＣＤ的中位线， 所以｜ＨＦ｜＝ ３２， 所以｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜＝３． 点评：本题主要是抛物线的参数ｐ的灵活应用，参数 ｐ的性质很多，特别是过焦点 Ｆ的弦 ＡＢ的性质非常重 要，若 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有性质：ｙ１ｙ２ ＝－ｐ ２；ｘ１ｘ２ ＝ｐ ２ ４； １ ｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜＝ ２ ｐ；｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ等． 书 问题：设直线ｌ与抛物线ｙ２ ＝８ｘ交于Ａ，Ｂ两点． １．若直线 ｌ的斜率为 ２，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ２．若直线ｌ的倾斜角为７５°，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ３．若直线ｌ的方程为 ｘ－ｙ＋１＝０，则 ｜ＡＢ｜＝ ． 以上三个问题都是求抛物线的弦长问题，其中前 两条弦都是过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦． 第三条弦显然不过抛物线的焦点，是抛物线的一条普 通弦．那么，如何求上述三条弦长呢？只需运用不同的 弦长公式，即可快速求出弦长．下述其详． 公式一：｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ 公式解读：若直线ｌ过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦 点Ｆ，且与抛物线交于 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，则由 抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝ｘ１＋ ｐ ２，｜ＢＦ｜＝ｘ２＋ ｐ ２， 所以｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ．因为ｐ是已知量，所以运用本 公式求弦长的关键是求ｘ１＋ｘ２．求解方法是：先把直线 方程与抛物线方程联立，消去变量 ｙ，就会得到一