第11期 4.3解直角三角形4.4解直角三角形的应用(答案见下期)-【数理报】2022-2023学年九年级（中考）数学同步学案（湘教版）

书 二、９．５５°；　１０．３５； １１．槡４２；　１２． １５ ８； １３．槡１０１０；　１４． 槡２１ ７ ． 三、１５．（１）原式 ＝１； （２）原式 ＝３＋槡２． １６．ｓｉｎＡ＝ ５１３，ｃｏｓＡ ＝１２１３，ｔａｎＡ＝ ５ １２． １７．过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ 交ＡＤ于点Ｆ，设ＢＣ＝ＢＥ ＝ｘ，因为∠ＥＤＢ＝∠ＢＡＣ ＝３０°，所以 ＤＥ＝ＡＣ＝ ２ｘ，ＡＢ＝ＢＤ＝槡３ｘ，则ＡＥ ＝（槡３－１）ｘ，又因为ＡＢ＝ ＢＤ，所以∠ＦＡＥ＝４５°，所 以ＡＦ＝ＥＦ，ＡＥ＝槡２ＦＥ， 即（槡３－１）ｘ＝槡２ＦＥ，所以 ＥＦ ＝ 槡６－槡２２ ｘ， 所 以 ｓｉｎ∠ＡＤＥ ＝ ＥＦＤＥ ＝ 槡６－槡２ ４ ． １８．（１）因为 ｓｉｎＢ＝ ｂ ｃ ＝ 槡６ 槡２３ ＝槡２２，且∠Ｂ为 锐角，所以∠Ｂ＝４５°． （２）因为ｃ＝１２，ｓｉｎＡ ＝１３ ＝ ａ ｃ，所以ａ＝４，所 以由勾股定理，得 ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝ 槡８２． １９．（１）过点 Ａ作 ＡＤ ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点 Ｄ，在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＣ＝４， 因为∠ＡＣＢ＝１５０°，所以 ∠ＡＣＤ＝３０°，所以 ＡＤ＝ １ ２ＡＣ ＝ ２，ＣＤ ＝ ＡＣ· ｃｏｓ３０°＝４×槡３２ ＝ 槡２３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎＢ＝ＡＤＢＤ＝ ２ ＢＤ＝ １ ８，所以 ＢＤ＝１６， 所以ＢＣ＝ＢＤ－ＣＤ＝１６－ 槡２３． （２）在ＢＣ边上取一点 Ｍ，使得 ＣＭ ＝ＡＣ＝４，连 接ＡＭ， 因为 ∠ＡＣＢ＝１５０°， 所以 ∠ＡＭＣ＝∠ＭＡＣ＝ １５°，因为ＣＤ＝ 槡２３，所以 ＭＤ＝４＋槡２３，所以ｔａｎ１５° 书 上期２版 ４．１．１正弦 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．槡５５；　７．１６．５°． 能力提高　８．因为ｂ２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）＝ｃ２－ａ２， 所以ａ２＋ｂ２＝ｃ２，所以△ＡＢＣ是以ｃ为斜边的直角三角 形，因为５ｂ－４ｃ＝０，所以 ｂｃ＝ ４ ５，在△ＡＢＣ中，设ｂ＝ ４ｋ，则ｃ＝５ｋ，所以ａ＝３ｋ，所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝ ａｃ＋ ｂ ｃ ＝３ｋ５ｋ＋ ４ｋ ５ｋ＝ ３ ５＋ ４ ５ ＝ ７ ５． ４．１．２余弦 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．６７．７７°； ５．１２１３；　６． ２５ ３． ７．因为ＡＤ＝ＢＣ＝５，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ ３５，所以ＣＤ＝ ３，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，因为 ＡＤ＝５，ＣＤ＝３，所以 ＡＣ＝ ＡＤ２－ＣＤ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４，在Ｒｔ△ＡＣＢ中，因为ＡＣ ＝４，ＢＣ＝５，所以 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ４２＋５槡 ２ ＝ 槡４１，所以ｓｉｎＢ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ４ 槡４１ ＝ 槡４ ４１４１ ． 能力提高 　８．因为槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ， 槡３ ２ ＝ ｃｏｓ３０°，当０＜α＜９０°，α越大，ｃｏｓα越小，所以∠Ｂ＜ ∠Ａ＜３０°． ４．２正切 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．８８．４７°； ５．４５°；　６．４３；　７． 槡７ ３；　８． ６ ５． ９．（１）１； （２） 槡２３－１４ ． １０．因为ｓｉｎＡ＝３５，所以 ＢＣ ＡＢ＝ ３ ５，因为ＡＢ＝１５，所 以ＢＣ＝９，所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝１２，所以ｔａｎＢ＝ ＡＣ ＢＣ＝ １２ ９ ＝ ４ ３． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ 书 例１　（２０２１内江）在一 次课外活动中，某数学兴趣小 组测量一棵树 ＣＤ的高度．如 图１所示，测得斜坡 ＢＥ的坡 度ｉ＝１∶４，坡底 ＡＥ的长为 ８米，在Ｂ处测得树ＣＤ顶部Ｄ 的仰角为３０°，在 Ｅ处测得树 ＣＤ顶部Ｄ的仰角为６０°，求树高ＣＤ（结果保留根号）． 解析：过点Ｂ作ＢＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，设ＤＦ＝ｘ米，在 Ｒｔ△ＤＢＦ中，ｔａｎ∠ＤＢＦ ＝ＤＦＢＦ，则 ＢＦ ＝ ＤＦ ｔａｎ３０°＝ 槡３ｘ（米）． 因为 ＡＢ ＡＥ＝ １ ４，且ＡＥ＝８（米），所以ＡＢ＝２（米）， 所以ＣＦ＝ＡＢ＝２（米）． 在Ｒｔ△ＤＣＥ中，ＤＣ＝ＤＦ＋ＣＦ＝（２＋ｘ）米， ｔａｎ∠ＤＥＣ＝ＤＣＥＣ，所以ＥＣ＝ ２＋ｘ ｔａｎ６０°＝ 槡３ ３（ｘ＋２）米．因 为ＢＦ－ＣＥ＝ＡＥ，即槡３ｘ－槡 ３ ３（ｘ＋２）＝８，解得ｘ＝ 槡４３ ＋１，则ＣＤ＝ 槡４３＋１＋２＝（槡４３＋３）米． 答：ＣＤ的高度是（槡４３＋３）米． 例２　（２０２１青岛）某校数学 社团开展“探索生活中的数学”研 学活动，准备测量一栋大楼 ＢＣ的 高度．如图２所示，其中观景平台斜 坡ＤＥ的长是２０米，坡角为３７°，斜 坡ＤＥ底部Ｄ与大楼底端Ｃ的距离 ＣＤ为７４米，与地面ＣＤ垂直的路灯 ＡＥ的高度是３米，从楼顶Ｂ测得路灯ＡＥ顶端Ａ处的俯 角是４２．６°，试求大