27.2 相似三角形的判定与性质（讲+练）【13大题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

27.2 相似三角形的判定与性质 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 题型1：相似三角形 1.1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是（　　） A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形 【变式1-2】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　） A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 注意：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 题型2：平行线分线段成比例 2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，l1∥l2∥l3，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 相似三角形的判定定理（一） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 题型3：相似三角形的判定定理1 3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件不能使△ADE∽△ABC相似的是（　　） A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BC C．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180° 【变式3-1】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC． 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= CD．求证：△ABF∽△CEB． 相似三角形的判定定理（二） 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 题型4：相似三角形的判定定理2 4.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由． （1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm． （2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm， A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm． 【变式4-1】如图，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，AD＝4，DC＝2．求证：△ABC∽△ACD． 【变式4-2】一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 相似三角形的判定定理（三） 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 题型5：相似三角形的判定定理3 5.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． 求证：△ACD∽△ABC． 【变式5-1】已知：如图，AD，BC交于点O，AO•DO＝CO•BO，求证：△ABO∽△CDO． 【变式5-2】如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE． 相似三角形的判定定理（四） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个