27.1.3 圆周角课件2022-2023学年 华东师大版数学九年级下册

27.1.3 圆周角 第27章 圆 情景导入 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑,谁相对于球门的角度更好呢? 获取新知 图中的三个角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点和边有哪些特点? ∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点都在圆上两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. (两个条件必须同时具备,缺一不可) 特征: ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 判一判 · C O B A · C O A B · C O B · C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. (2) (1) (3) 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ (4) × × × 如图,线段AB是☉O的直径,点C是 ☉O上的任意一点(除点A、B外),那么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角,想一想,∠ACB会是怎样的角? · O A C B 解:∵OA=OB=OC,∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 直角 对于一般的弧所对的圆周角,有什么规律? 圆周角和直径的关系: 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°. 如图,OB,OC都是☉O的半径,点A ,D 是上任意两点,连接AB,AC,BD,CD.∠BAC与∠BDC相等吗?测量一下,请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC 测量与发现 ∠BAC= ∠BOC= ∠BDC= 40° 40° 80° 测量: ∠BAC=∠BDC= 发现: 如图,若 ,∠A与∠B相等吗?测量一下,请说明理由. ∠B= ∠EOF= ∠A= 30° 30° 60° 测量: ∠A=∠B= 发现: D A B O C E F 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半. 猜想 , , , 为了证明猜想,将圆对折,使折痕经过圆心O和周角的顶点C,这时可能出现三种情况:(1)折痕是圆周角的一条边; (2)折痕在圆周角额内部;(3)折痕在圆周角的外部. (1) (2) (3) 分别就这三种情况证明这一猜想. 已知:在⊙O中, 所对的圆周角是∠ACB,所对的圆心角是∠AOB. 求证: ⌒ AB OA=OC ∠A= ∠C ∠BOA= ∠ A+ ∠C 作直径CD.利用(1) 的结论,有∠l= ∠AOD,∠2= ∠BOD , ∠ACB=∠1+∠2= (∠ AOD +∠BOD) = ∠AOB (1) (2) (2)折痕在圆周角额内部; (1)折痕是圆周角的一条边 圆心在∠ACB的外部时,你能证明吗? (3) 利用(1) 的结论,有∠ACD= AOD, ∠2= ∠BOD ∠ACB= ∠ACD- ∠2= (∠AOD-∠BOD )= ∠AOB D A B O C E F (1)反过来,若∠A=∠B,那么 成立吗? (2)若CD是直径,你能求出∠A的度数吗? 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧也相等. 圆周角定理 A1 A2 A3 推论1:90°的圆周角所对的弦是直径. 14 1.如图,点A、B、C、D在☉O上,点A与 点D在点B、C所在直线的同侧,∠BAC=35º. (1)∠BOC= º, 理由是 ; (2)∠BDC= º,理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2. 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=30°,则∠B的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° D 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形. ④ ① ② ③ 观察下面图形,找出①②和③④的不同。 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆. 探究圆内接四边形的特殊性 ∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为: ∠A+ ∠C=180º,∠B+ ∠D=180º 如何证明你的猜想呢? ∠A与∠C, ∠B与∠D的大小有什么关系? ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C=180°, 同理∠B+∠D=180°, 证明 推论2:圆的内接四边形的对角互补. C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C=180°, E 延长BC到点E,有 ∠BCD+∠DCE=180°. ∴∠A=∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系? 推论:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 四边形ABCD是