24.5 三角形的内切圆-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

三角形的内切圆 24.5 三角形的内切圆 学习目标 1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 24.5 三角形的内切圆 有一块三角形材料，如何从中裁下一个面积最大的圆？ 情境引入 24.5 三角形的内切圆 3 讲授新课 若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 最大的圆与三角形三边都相切 24.5 三角形的内切圆 4 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. B A C I 知识要点 ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 24.5 三角形的内切圆 问题1 如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？ 圆心O在∠ABC的平分线上. N C O M A B 探究 24.5 三角形的内切圆 C O A B 问题2 如图，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC 的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？ 圆心O在∠ABC与∠ACB这两个角的平分线的交点上. 线段AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线. F E D 线段线段OD，OE， OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径. 24.5 三角形的内切圆 1.如图，作ΔABC中∠A，∠C的角平分线，交于点O 问题3 现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？ 2.过点O作OQ⊥AC于Q 3.以O点为圆心，OQ长度为半径画圆 则☉O即为所求 求作一个圆，使它和已知三角形的各边相切 24.5 三角形的内切圆 三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. C O A B F E D 知识归纳 24.5 三角形的内切圆 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA = OB = OC 2.不一定在三角形内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边距离相等 2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.在三角形内部 A B O C A B C O 类比归纳 24.5 三角形的内切圆 例1 如图，△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB=61 °，点 I 是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点 I 是△ABC的内心， ∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB的平分线. 在△IBC中， 24.5 三角形的内切圆 例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径. 该问题可以抽象为如下所示的几何图形. 24.5 三角形的内切圆 C A B r O D 解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD. ∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆， ∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线. ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. ∵ OD⊥AB，AB = 3 cm， ∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm). ∴ OD = AD·tan30° = (cm). 答：圆柱底面圆的半径为 cm. 24.5 三角形的内切圆 例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 24.5 三角形的内切圆 解: 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 解得 x = 4. B A C E D F O 24.5 三角形的内切圆 例4 如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r.