专题09 三角函数的图象和性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题09 三角函数的图象和性质 （一）周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2．最小正周期 条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 3．及周期为周期为，其中为常数，且 （二）正弦函数、余弦函数的图象和性质 1.正、余弦函数解析式 正弦函数y＝sinx，定义域R；余弦函数y＝cosx，定义域R 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． (2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是： ①列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． ③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象． 3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示． 4．正弦曲线和余弦曲线的关系 5．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝sinx 图象 定义域 R 当x＝2kπ＋ (k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ－ (k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在[2kπ－,2kπ+]上是增函数； 在[2kπ+,2kπ+]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋ (k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 6．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝cosx 图象 定义域 R 当x＝2kπ(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ＋π(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． （三）正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． (2)性质：如下表所示. 函数 性质 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 减区间 无 【知识拓展】(1)正切函数图象的对称中心是（，0）(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． （四）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法 (1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线． (2)变换法： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ． 题型一 三角函数的周期性及应用 【典例1】（2021·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则的值等于（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【总结提升】 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x