专题05 函数的概念、性质及应用（16个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题05函数的概念、性质及应用（16个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．函数的概念及其构成要素 【知识点的认识】初中函数的定义： 设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量． 高中函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法． 【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较多，以小题与大题出现， 可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，难度比较大． 二．判断两个函数是否为同一函数 【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少． 三．函数的定义域及其求法 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题． 四．函数的值域 【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． 【解题方法点拨】（1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型． 五．函数解析式的求解及常用方法 【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解． 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等． 【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法． 例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程． 解：∵y＝x2+2x， ∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4； 所以曲线在点（1，3）