4.3.1.2 等比数列的性质及应用（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 4.3.1.2等比数列的性质及应用 在等比数列中，若m+n=p+q（），则 ， ① 特别地，当 m+n=2k（）时， ② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 一、等比数列的运算性质 （2）若数列，均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列 也为等比数列. 二、由等比数列衍生的等比数列 【典例4】 已知数列的首项 . （1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列； （2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列. 分析： 根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明. 三、等比、等差数列的两个性质 【典例4】已知数列的首项 . （1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列； （2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列. 证明： （1）由， d=2，得的通项公式为 . 设 ， 则 又 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列. 【典例4】已知数列的首项 . （1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列； （2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列. 证明： （2）由， ，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 24 所以，是首项为1，公差为-2的等差数列. 思考 （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 提示： （1） 设 的首项为，公差为d， 则 . , 则 ， 又因为，所以常数 故是首项为，公比为的等比数列. （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 思考 （2）设数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),则数列的各项分别为 提示： 对各项分别取以b为底的对数，得 即 这就形成首项是，公差是的等差数列. 等比、等数列的两个性质： （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列. （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合． 法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 法四：因为a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n， 所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…an]＝log22n2＝n2. [答案]　(1)A　(2)C (1)等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (2)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. (3)在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． [提醒]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．　　 【方法技巧】 【典例5】 用10 000 元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析： 复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和. 四、等比数列的应用 解： （1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则是等比数列， 首项 ， 公比q=1+0.400% ，所以 所以， 12个月后的利息为（元） （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，则也是一个等比数列， 首项，公比为1+r，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式，得 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 题型探究 1.等比数列的性质 2.等比数列的实际应用 课堂小结 【典例2】在等比数列{an}中，已知a3·a8＝10，则a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ·a7的值为__