5.2 导数的运算（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 1. 函数 y=f(x)=c 的导数 因为 所以 若y=c（图5.2-1）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 基本初等函数的导数 2. 函数 y=f(x)=x 的导数 因为 所以 若y=x（图5.2-2）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动. 3. 函数 的导数 因为 所以 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当x<0时，随着x的增加，越来越小， 减少的越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，越来越大， 增加的越来越快. 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 表示函数 的图象（图5.2-3）上点（x, y）处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 4. 函数 的导数 因为 所以 表示函数 的图象（图5.2-4）上点（x, y）处切线的斜率为，这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为负数. 5. 函数 的导数 因为 所以 6. 函数 的导数 因为 所以 原函数 导函数 ① f(x)=C(C为常数) f'(x)=0 ② f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f'(x)= ③ f(x)=sin x f'(x)= ④ f(x)=cos x f'(x)= ⑤ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= ⑥ f(x)=ex f'(x)= ⑦ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= ⑧ f(x)=ln x f'(x)= 导数公式表 注意以下五点： (1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立； (2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数； (3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围； (4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例； (5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确． 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (2)导函数是常数函数的函数一定是正比例函数.(　　) 2.常数函数的导数为0说明什么? × × √ 提示 说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴. 例1 求下列函数的导数： （1） （2） 解： （1） （2） 对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 例，函数 由 和 复合而成 函数 由 和 复合而成 复合函数 如何求复合函数的导数呢？ 先来研究 的导数. 以 表示 y 对 x 的导数，以 表示 y 对 u 的导数， 以 表示 u 对 x 的导数. 一方面， 另一方面， ， 可以发现， 一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 复合函数的求导法则 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)余弦函数的导数是正弦函数.(　　) (2)若f(x)=4x,则f'(x)=4xlog4e.(　　) 2.若f(x)是偶函数,则f'(x)是奇函数还是偶函数? × × √ 提示 奇函数. 知识点总结　导数的四则运算法则 对于不具备导数运算法则结构形式的函数要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数 f'(x)+g'(x) f'(x)-g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　 名师点睛 两个函数和与差的导数运算法则可以推