5.3.1 函数的单调性（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 ？ 本节我们就来讨论这个问题. 问题： 判断函数单调性的方法有哪些？ 1 定义法 答： 2 图象法 3 性质法 （增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等） 4 导数法 思考 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 图（2）是跳水运动员的速度 v 随时间t 变化的函数 , b 是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 如何从数学上刻画这种区别？ 观察图象可以发现： （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， （2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， .  思考 从以上观察中发现，函数h(t) 单调性与的正负有内在联系. 那么，我们能否由的正负来判断函数 h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当，函数 h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增； 当，函数 h(t)的图象是“下降”的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减. 观察下面一些函数的图象（5.3-2），探讨函数的单调性与导数的正负关系. 如图，导数 表示函数y=f(x)的图象在点 处的切线的斜率. 可以发现： 在 处，，切线是“左下右上”的上升式，函数 f(x)的图象也是上升的，函数 f(x)在 附近单调递增 在 处，，切线是“左上右下”的下降式，函数 f(x)的图象也是下降的，函数 f(x)在 附近单调递减 结论： 一般地，函数 f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递增； 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递减. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解： （1）因为 ，所以 所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （2） （3） 解： （2）因为 ，所以 所以，函数 上单调递减，如图（2）所示. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （3） 解： （3）因为 所以 所以，函数 上单调递增，如图（3）所示. 例2 已知导函数的下列信息： 当1<x<4时，； 当x<1, 或x>4时， 当x=1,或 x=4时，. 试画出函数f(x)图象的大致形状. 解： 当1<x<4时， ，可知f(x)在区间（1，4）上单调递增； 当x<1, 或x>4时，， 可知f(x)在区间（，1）和（4，+）上都单调递减； 当x=1,或 x=4时，，这两点比较特殊， 我们称它们为“临界点”. 综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示 例3 求函数 的单调区间. 解： 函数 的定义域为R. 对 f(x)求导数，得 令，解得 x=-1, 或 x=2 下面利用导数来研究形如 函数的单调性. x -1 (-1,2) 2 + 0 - 0 + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 x=-1和 x=2把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及 f(x)的单调性如下表所示. 所以， f(x)在（，-1）和（2，+）上都单调递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示. 规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零