考点15 任意性和存在性问题-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第一册)

考点15 任意性和存在性问题 “任意性问题”与“存在性问题”是一类形同质异的问题，同时也是各类考试的高频考点，求解这两类问题的策略是转化为等价问题，恒成立问题与能成立问题，而后进行求解. “任意性问题”与“存在性问题”的求解策略： 1. 任意性问题转化为恒成立问题 2. 存在性问题转化为有解问题 3. 等式问题转化为值域关系问题 4.不等式问题转化为最值关系问题 对于一个不等式一定要看清楚是对“”恒成立，还是对“”使之成立，同时还要看清楚不等式两边中同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件. 1、 单函数恒成立、能成立、恰成立问题的求解 1. 恒成立问题的转化：恒成立；恒成立 2. 能成立问题的转化：能成立；能成立· 3.恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为 另一转化方法：若，在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若,在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 注：含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如函数性质、变换主元、分离参数、分类讨论、数形结合等来解题. 1、函数性质法 （1）一次函数——单调性法 给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成 同理,若在内恒有,则有 （2）二次函数——利用判别式 ①一元二次不等式在R上的恒成立问题 设 上恒成立；（2）上恒成立． ②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。 “同号要分类，异号看端点” 设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 （3）其它函数： 恒成立（注：若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0）． 2、分离参数法——极端化原则 分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如的式子，只要使，就能确保不等式恒成立.在求的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式. 3、主参换位——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到