5.1 导数的概念-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

5．1 导数的概念 【题型归纳目录】 题型一：函数的平均变化率 题型二：求瞬时速度 题型三：求函数在某点处的导数 题型四：求切线方程 题型五：求切点坐标 题型六：利用图象理解导数的几何意义 题型七：过某点的曲线的切线 题型八：利用定义求导函数 题型九：导数的几种形式 【知识点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 也可称为三步法求导数． 知识点四、导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一