4.3 等比数列-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

4.3 等比数列 【题型归纳目录】 题型一:等比数列的判断 题型二:等比数列的通项公式及其应用 题型三:等比数列的证明 题型四:等比中项及应用 题型五:等比数列的实际应用 题型六:等比数列性质的应用 题型七:灵活设元求解等比数列问题 题型八:等比数列前项和的有关计算 题型九:等比数列前项和的性质 题型十:递推公式在实际问题中的应用 题型十一:利用错位相减法求数列的前项和 题型十二:等比数列中与的关系 题型十三:等比数列片段和的性质 题型十四:等比数列的奇数项与偶数项和 【知识点梳理】 知识点一、等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示(),即:. 知识点诠释: ①由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q可不能是0; ②“从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个; ③隐含条件:任一项且;“”是数列成等比数列的必要非充分条件; ④常数列都是等差数列,但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列; ⑤证明一个数列为等比数列,其依据.利用这种形式来判定,就便于操作了. 知识点二、等比中项 如果三个数、、成等比数列,那么称数为与的等比中项.其中. 知识点诠释: ①只有当与同号即时,与才有等比中项,且与有两个互为相反数的等比中项.当与异号或有一个为零即时,与没有等比中项. ②任意两个实数与都有等差中项,且当与确定时,等差中项唯一.但任意两个实数与不一定有等比中项,且当与有等比中项时,等比中项不唯一. ③当时,、、成等比数列. ④是、、成等比数列的必要不充分条件. 知识点三、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为,公比为的等比数列的通项公式为: 推导过程: (1)归纳法: 根据等比数列的定义可得: ∴; ; ; …… 当n=1时,上式也成立 ∴归纳得出: (2)叠乘法: 根据等比数列的定义可得: , , , …… , 把以上个等式的左边与右边分别相乘(叠乘),并化简得:,即 又a1也符合上式 ∴. (3)迭代法: ∴. 知识点诠释: ①通项公式由首项和公比完全确定,一旦一个等比数列的首项和公比确定,该等比数列就唯一确定了. ②通项公式中共涉及、、、四个量,已知其中任意三个量,通