4.2 等差数列-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

4.2 等差数列 【题型归纳目录】 题型一：等差数列的判断 题型二：等差数列的通项公式及其应用 题型三：等差数列的证明 题型四：等差中项及应用 题型五：等差数列的实际应用 题型六：等差数列性质的应用 题型七：等差数列中对称设项法的应用 题型八：等差数列前项和的有关计算 题型九：等差数列前项和的比值问题 题型十：等差数列前项和的性质 题型十一：等差数列前项和的最值问题 题型十二：求数列的前项和 题型十三：等差数列前n项和公式的实际应用 题型十四：由等差数列的前n项和判断等差数列 题型十五：等差数列片段和的性质 题型十六：等差数列的奇数项与偶数项和 【知识点梳理】 知识点一、等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 知识点诠释： ⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）； 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 知识点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 知识点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 知识点诠释： ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 知识点三