第7章 计数原理 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类计数原理与分步计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，体现出分类与整合的思想． 2．在排列组合的有关问题中，首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复杂的问题简单化，体现了正难则反的思想方法． 3．化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题．在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解．在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　两个计数原理的应用　 1．甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有 (　 ) A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 解析：由题意得，以C路口为分类标准：C路口执勤分得人数情况有2种，两个人或一个人． 若C路口执勤分得人数为2个，则丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A、B路口执勤； 若C路口执勤分得人数为1个，丙或丁在C路口，具体情况如下： 丙在C路口：A(丁)B(甲、乙)C(丙)；A(甲、丁)B(乙)C(丙)；A(乙、丁)B(甲)C(丙)． 丁在C路口：A(甲、乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲、乙)C(丁)；A(甲、丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲、丙)C(丁)；A(乙、丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙、丙)C(丁)． 所以一共有2＋3＋6＝11种安排方法． 答案：B　 2．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 (　 ) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)， 第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)． 第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)， 根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有 8×8＝64. 答案：D　 解析：以m的值为标准分类，分五类： 第1类，当m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第2类，当m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第3类，当m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第4类，当m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第5类，当m＝5时，使n>m，n有2种选择． 所以一共可以表示6＋5＋4＋3＋2＝20(个)焦点在y轴上的椭圆． 答案：20 使用两个原理解决问题时应注意的问题 对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．　　 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．解决排列组合应用题的常用方法： (1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后； (3)先取后排，间接排除；(4)相邻捆绑，间隔插空； (5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序. 　　 题型三　二项式定理及其应用　 1．(x－2y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 (　 ) A．－200 B．－120 C．120 D．200 应用二项式定理解题要注意的问题 (1)二项式通项表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项． (2)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错． (3)二项式通项表示二项