模型02 几何图形初步——双角平分线-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

几何图形初步 模型（二）——双角平分线 ◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON= ∠AOB 【证明】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP =（∠BOP+ ∠AOP）=∠AOB 【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。 等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】 ◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB 【证明】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP =（∠BOP-∠AOP）=∠AOB 【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。 等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】 1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（    ） A．5° B．10° C．15° D．20° 2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（      ） A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD 1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOD=30°，则∠AOB的度数为_______． 2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，平分，OE平分，则的度数为_______． 3．（2022·重庆彭水·七年级期末）如图，已知，，OB平分，OD平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°． （1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________； （2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________． 1．（2019·山西·一模）已知中，射线在内部，是的平分线，是的平分线． （1）若如图1，求的度数； （2）若在（1）的基础上增加了，如图2，求的度数； （3）若射线在的外部，如图3(与在直线的同侧)，求的度数． 2．（2019·四川南充·一模）已知是内部任意的一条射线，，分别是、的平分线. （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数. 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点，，在同一条直线上，，，是的平分线. （1）求的度数； （2）是的平分线吗？为什么？ （3）请直接写出图中所有与互余的角. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 几何图形初步 模型（二）——双角平分线 ◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON= ∠AOB 【证明】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP =（∠BOP+ ∠AOP）=∠AOB 【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。 等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】 ◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB 【证明】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP =（∠BOP-∠AOP）=∠AOB 【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。 等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】 【典例】 1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（    ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】C 【分析】利用角平分线得到∠AOB