常考题型19 函数零点问题的三种常考点方法总结-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型19 函数零点问题的三种常考点方法总结 必备知识 1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。 2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 3.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 方法指导 一、判断函数零点所在区间 1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。 2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。 3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。 二、判断函数零点的个数 1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。 2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。 3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。 三、利用函数的零点求参数的取值范围 1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。 2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。 3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。 题型探究一 探究一：判断函数零点所在的区间 函数的零点所在区间为（      ） A． B． C． D． 思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解. 【答案】B 【详解】由题意可知，的定义域为， 令，则，由在上单调递减， 在定义域内单调递增， 所以在单调递减. 所以函数在上单调递减. 所以 故，根据零点的存在性定理，可得 函数的零点所在区间为. 故选：B. 【变式练习】 1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数,是单调递增函数， 当 时，， ， 故 故函数的零点所在的区间为， 故选：B 2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 且函数在上单调递减；在上单调递减， 所以函数为定义在上的连续减函数， 又当时，， 当时，， 两函数值异号， 所以函数的零点所在区间是， 故选：B. 探究二：判断函数零点的个数 已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（    ） A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点 C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点 思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A. 【答案】D 【详解】因为对任意的实数恒成立，令，得． 若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点． 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点. 若，则，此时在上至少有1012个零点． 综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确； 可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误； 对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误. [解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误. 故选：D． 【变式练习】 1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．与的值有关 【答案】A 【详解】解：因为，且关于的方程无实根， 当时的开口向上，与没有交点，则， 当时的开口向下，与没有交点，则， 综上可得或， 当时， 恒成立，故， 故当时，无解， 而当时，在上为增函数， 而对任意，恒成立， 故， 故时，无解，故方程无实数