常考题型18 五种有关对数函数的图象和性质的常考点-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型18 五种有关对数函数的图象和性质的常考点 必备知识 1.对数函数图象的特征 (1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降. (2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d<1<a<b。 在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大。（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大） 2.对数函数的性质 函数 (a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 性质 定义域为(0，+∞) 值域为R 过定点(1，0)，即当x=1时，y=0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在区间(0，＋∞）上是增函数 在区间(0，＋∞）上是减函数 方法指导 一、对数型函数的图象问题 1.对可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想。 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 二、对数函数的性质的应用 1.比较对数值大小的方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； (2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； (3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较； 2.解对数不等式 形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； 形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解。 3.解与对数函数有关的单调性问题的一般步骤： 一求，求出函数的定义域； 二判，判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况；判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的特征判断函数的单调性。 题型探究一 探究一：对数函数的定义域 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 思路分析：根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域. 【答案】D 【详解】由，得， 所以，所以． 故选：D. 【变式练习】 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 2．已知函数，则函数的定义域为 A． B． C． D． 解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域. 【答案】D 【详解】对于函数，，即，解得. 对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 探究二：对数函数的值域问题 若函数在区间上单调递减，且，则 A． B． C． D． 思路分析：由函数在区间上单调递减，根据复合函数的单调性求得，而，，可得. 【答案】A 【详解】因为函数在区间上单调递减 令 根据复合函数的单调性得 解得 ， 所以 故选：A 【变式练习】 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知集合A＝（﹣∞，0）集合B＝（0，） ∴A∩B＝（﹣∞，0）∩（0，）＝∅ 故选：A． 2．函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴函数的值域为， ∵的定义域即函数的值域， ∴的定义域为． 故选：C 探究三：对数函数的图像判断 函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 思路分析：当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果. 【答案】A 【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D， 当时，为减函数， 故选:A． 【变式练习】 1．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 2．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得且，所以的定义域为且， 由定义域可排除C、D， 当时，，，可排除B，由排除法可知选项A正确； 故选：A. 探究四：对数函数的单调性 函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D．和 思路分析：由给定图象可得的递减区间，由的单调性结合复合函数单调性即可得解. 【答案】D 【详解】由函数的图象可得的递减区间是，而函数在上单调递减， 则函数的单调增区间，必有或，解得