常考题型17 指数函数的图象和性质的常考点方法总结-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型17 指数函数的图象和性质的常考点方法总结 必备知识 1.任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称； 2.当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势。 3.指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 4.指数函数的图象与性质 函数 (a>0且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 R 值域 (0，+∞) 单调性 单调递增 单调递减 函数值变化规律 当x=0时，y=1 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 方法指导 一、指数型函数的图象问题 1.图象的识别 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，观察选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)解指数型函数图象问题，一般从指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解； (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较； 二、指数函数的性质的应用 1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是先看能否化成同底数幂，能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小，不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小； 2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解； 3.指数函数性质的综合应用，其方法是首先研究指数型函数的性质，再利用其性质求解。 题型探究一 探究一：指数函数的图像判断 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 思路分析：先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可。 【答案】C 【详解】解：函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项， 因为当时，， 所以当时，，时，，故排除D， 当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项， 故选：C 【变式练习】 1．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除D， 由于，故当时，，故排除AB， 故选：C 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为的定义域为R，， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D； 当趋近于时，趋近于，趋近于， 趋近于0， 但是比增长速度快得多，所以趋近于0，故排除A． 故选：B. 探究二：求指数函数的值域 设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（       ） A． B． C． D． 思路分析：根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可。 【答案】B 【详解】因为，所以，则是奇函数， ， 因为，所以，则，则，即的值域为， ①若，由，则， 所以 ②若，由，则， 所以 ③若，则，所以. 综上所述，函数的值域为. 故选：B. 【变式练习】 1．已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为. 故选：B 2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是， 因存在实数，使得，则， 因此，，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 探究三：指数函数的单调性问题 设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路分析：证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解。 【答案】A 【详解】的定义域是， ，是偶函数， 时，设， ，，，从而， 所以，即，是增函数， 不等式化为， 所以，，解得． 故选：A. 【变式练习】 1．若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数． 因为，所以，即，所以，所以． 故选：C．