第5章 微专题3 曲线的切线-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 微专题3　曲线的切线 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 典例剖析·素养提升 5x－y＋2＝0 B (－3,1) y＝ex或y＝x＋1 8 1 [1，＋∞) 课堂评价·及时反馈 C C ABD y＝(e－1)x＋2 y＝3x Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 探究1　在某点处的切线 　(1) 曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为______________________. 【解析】 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq \f(5,x＋22)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,－1＋22)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. (2) 函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1 C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1 【解析】 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，故切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，故切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤： 第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 探究2　过某点的切线 　已知曲线C：y＝x3＋2和点P(1,3)，求过点P且与曲线C相切的直线方程． 【解析】 设所求直线与曲线相切于点(x0，y0)，则y0＝xeq \o\al(3,0)＋2.因为k＝y′|x＝x0＝3xeq \o\al(2,0)， 所以切线方程为y－(xeq \o\al(3,0)＋2)＝3xeq \o\al(2,0)(x－x0)．因为切线过点P(1,3)，所以3－(xeq \o\al(3,0)＋2)＝3xeq \o\al(2,0)(1－x0)， 解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2)，所以k＝3xeq \o\al(2,0)＝3或eq \f(3,4)，故直线l的方程为3x－y＝0或3x－4y＋9＝0. 求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程．在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． 变式　若过点A(a,0)的任意一条直线都不与曲线C：y＝(x－1)ex相切，则a的取值范围是__________________. 【解析】 设点B(x0，(x0－1)ex0)为曲线C上任意一点，因为y′＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以y′|x＝x0＝x0ex0，则曲线C在点B处的切线l的方程为y－(x0－1)·ex0＝x0 ex0 (x－x0)．根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程－(x0－1) ex0＝x0 ex0·(a－x0)，即xeq \o\al(2,0)－(a＋1)x0＋1＝0无实根，所以Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－3<a<1，所以a的取值范围是 (－3,1)． 探究3　公切线问题 　(1) 已知曲线f(x)＝ex，g(x)＝lnx＋2，直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为__________________________. 【解析】 设l与曲线f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，f′(x)＝ex，所以f′(x1)＝ex1，所以切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1，①.同理设l与曲线g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，y2)，所以y2＝lnx2＋2，g′(x)＝eq \f(1,x)，所以g′(x2)＝eq \f(1,x2)，所以切线方程为y－(lnx2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq \f(1,x2)·x＋lnx2＋