第4章 微专题2 错位相减法-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 微专题2　错位相减法 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 典例剖析·素养提升 课堂评价·及时反馈 Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 探究1　“等差”“等比”型 　已知数列{an}是等差数列，且满足a6＝6＋a3，a6－1是a5－1与a8－1的等比中项． (1) 求数列{an}的通项公式； 【解析】 (1) 设等差数列{an}的公差为d，由题设可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝6＋a1＋2d，,a1＋5d－12＝a1＋4d－1a1＋7d－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2，))所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. (2) 已知数列{bn}满足bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】 (2) 由(1)知an＝2n－7，所以bn＝2n·an＝(2n－7)·2n. 因为Sn＝－5×2－3×22－1×23＋…＋(2n－7)·2n①， 所以2Sn＝－5×22－3×23＋…＋(2n－9)·2n＋(2n－7)·2n＋1②， 由①－②可得－Sn＝－10＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－7)·2n＋1＝－10＋2×eq \f(221－2n－1,1－2)＋(7－2n)·2n＋1＝－18＋(9－2n)·2n＋1，所以Sn＝(2n－9)·2n＋1＋18. 1. 在等式Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an两边同乘以等比数列的公比q，且q≠1. 2. 两式相减：左边为(1－q)Sn，右边为q的同次式对齐相减． 在运用乘公比错位相减法求数列前n项和时，要谨防三个失误： (1) 两式相减时，最后一项因为没有对应项而忘记变号． (2) 对相减后的和式的结构认识模糊，不能准确地确定中间的项数． (3) 求和的最终结果忘记除以错位相减后Sn前面的系数． 变式1　已知等比数列{an}的公比q>0，an＋2＝an＋1＋2an,5为a1，a3的等差中项． (1) 求数列{an}的通项公式； 【解析】 (1) 因为等比数列{an}的公比q>0，an＋2＝an＋1＋2an,5为a1，a3的等差中项， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≠0，,anq2＝anq＋2an，,a1＋a1q2＝10，))解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n. (2) 若bn＝log2an，且a1bm＋a2bm－1＋a3bm－2＋…＋amb1＝12－2m，求m的值． 【解析】 (2) 由(1)知bn＝log2an＝log22n＝n，令T＝a1bm＋a2bm－1＋a3bm－2＋…＋amb1＝12－2m， 则T＝2×m＋22×(m－1)＋…＋2k×(m－k＋1)＋…＋2m×1， 2T＝22×m＋23×(m－1)＋…＋2k＋1×(m－k＋1)＋…＋2m＋1×1， 两式相减，得T＝－2×m＋22＋…＋2k＋…＋2m＋2m＋1＝2m＋2－2m－4＝12－2m，解得m＝2. 变式2　已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，an＋1＝eq \f(n＋2,2n＋2)an. (1) 求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))是等比数列； 【解析】 (1) 因为an＋1＝eq \f(n＋2,2n＋2)an，所以eq \f(an＋1,n＋2)＝eq \f( \f(n＋2,2n＋2)an,n＋2)＝eq \f(1,2)×eq \f(an,n＋1). 又因为eq \f(a1,1＋1)＝eq \f(1,2)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))是首项、公比均为eq \f(1,2)的等比数列，且eq \f(an,n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n. (2) 求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. 【解析】 (2) 由(1)知eq \f(an,n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，所以an＝eq \f(n＋1,2n).又Sn＝2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,22)＋4×eq \f(1,23)＋…＋eq \f(n＋1,2n)， eq \f(1,2)Sn＝2×eq \f(1,22)＋3×eq \f(1,23)＋…＋eq \f(n,2n)＋eq \f(n＋1,2n＋1)， 两式相减得eq \f(1,2)Sn＝1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n)－eq