5.2 第3课时 简单复合函数的导数-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第3课时 简单复合函数的导数 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 D 课堂评价·及时反馈 B D B ABD Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 了解复合函数概念及其复合过程； 2. 掌握复合函数的求导法则. (3) y＝ln(3x－1)； 【解析】 (3) 设y＝lnu，u＝3x－1，则y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(3x－1)′＝eq \f(1,u)·3＝eq \f(3,3x－1). 类型1　简单复合函数的导数 　(P79例6补充)求下列函数的导数： (1) y＝eq \r(3x－x2)； 【解析】 (1) 设y＝eq \r(u)，u＝3x－x2，则y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,2\r(u))·(3－2x)＝eq \f(3－2x,2\r(3x－x2)). (2) y＝e2x＋1； 【解析】 (2) 设y＝eu，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x＋1. (4) y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 【解析】 (4) 设y＝sinu，u＝2x＋eq \f(π,3)，则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cosu·2＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 某些较复杂的函数可以先进行整理，比如化为简单的复合函数，利用复合函数的求导法则求其导数． (3) y＝eq \f(ln3x,ex). 【解析】 (3) 因为(ln3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)，所以y′＝eq \f(ln3x′ex－ln3xex′,ex2)＝eq \f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq \f(1－xln3x,xex). 变式　求下列函数的导数： (1) y＝(x2＋2x－1)e2－x； 【解析】 (1) y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)(－e2－x)＝(－x2＋3)e2－x. (2) y＝2xsin(2x＋5)； 【解析】 (2) y′＝(2x)′sin(2x＋5)＋2x[sin(2x＋5)]′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 　(1) 曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A. y＝2x B. y＝2x＋1 C. y＝3x D. y＝3x＋1 【解析】 因为f(x)＝x＋e2x，所以f′(x)＝1＋2e2x，所以f′(0)＝1＋2＝3，又f(0)＝1， 所以曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1. (2) 求曲线y＝f(x)＝(2x－2)3在点(2,8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积． 【解析】 设u＝2x－2，则f′(x)＝(u3)′·u′＝6(2x－2)2，所以f′(2)＝6×(4－2)2＝24， 所以曲线y＝f(x)在点(2,8)处的切线方程为y－8＝24(x－2)，即24x－y－40＝0， 所以切线与x轴的交点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0))，与直线x＝2的交点是(2,8)， 故所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))×8＝eq \f(4,3). 类型2　复合函数导数的实际应用 　(P80例7补充)某港口在一天24h内潮水的高度近似满足函数关系S(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中S的单位是m，t的单位是h，求18点时潮水起落的速度． 【解析】 因为S′(t)＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))×eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))， 所以S′(18)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a