5.1 第2课时 导数的概念及几何意义-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第2课时 导数的概念及几何意义 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 D 课堂评价·及时反馈 D D D AD Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 了解导数的概念； 2. 理解导数的几何意义； 3. 会利用导数求曲线在某一点处的切线方程. 类型1　导(函)数的概念 　(P65例1补充)用导数的定义，求函数y＝f(x)＝eq \f(1,\r(,x))在x＝1处的导数． 【解析】 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq \f(1,\r(,1＋Δx))－eq \f(1,\r(,1) )＝eq \f(1－\r(,1＋Δx),\r(,1＋Δx))＝eq \f(－Δx,\r(,1＋Δx)·1＋\r(,1＋Δx))， 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－1,\r(,1＋Δx)·1＋\r(,1＋Δx))，所以当Δx无限趋近于0时，eq \f(－1,\r(,1＋Δx)·1＋\r(,1＋Δx)) 无限趋近于－eq \f(1,2)，所以f′(1)＝－eq \f(1,2). 区别概念：①函数f(x)的导函数(简称导数)：f′(x)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx). ②函数f(x)在x＝x0处的导数，f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 变式　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a，eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f1－f1＋Δx,2Δx)＝1－a，则实数a的值为( ) A. －2 B. －eq \f(1,2) C. eq \f(1,2) D. 2 【解析】 由题知eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f1－f1＋Δx,2Δx)＝－eq \f(1,2)eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝－eq \f(1,2)a，即－eq \f(1,2)a＝1－a，解得a＝2. 类型2　导数的实际意义 　(P65例2补充)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2处的瞬时变化率，并解释它的实际意义． 【解析】 当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3(2＋Δx)，函数值y关于x的瞬时变化率为eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \f(32＋Δx－3×2,Δx)＝eq \f(3Δx,Δx)＝3(m3/s)．当Δx趋于0时，瞬时变化率总是3，所以f′(2)＝3m3/s.导数f′(2)表示当x＝2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x＝2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可． 变式　(P69例5补充)某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数．设此时正方形的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃时正方形面积的瞬时变化率． 【解析】 依题意可知，f(t)＝[10(1＋at)]2＝100(1＋at)2. 设t＝0时温度的改变量为Δt，则eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f0＋Δt－f0,Δt) ＝eq \f(100[1＋a0＋Δt]2－1001＋a×02,Δt)＝200a＋100a2Δt. 可得f′(0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (200a＋100a2Δt)＝200a. 这表示在0 ℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200a. 类型3　曲线在某点处的切线 　已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10. (1) 求它们的交点； 【解析】 (1) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝8))或