5.1 第1课时 变化率问题-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第1课时 变化率问题 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 C D C －1 ACD Thank you for watching 第*页 第五章　一元函数的导数及其应用 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 了解平均速度和瞬时速度的关系； 2. 会求物体在某个时刻的瞬时速度； 3. 掌握并会求抛物线在某一点处的切线方程. 类型1　平均变化率 　已知函数f(x)＝2x2－1. (1) 求在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率； 【解析】 (1) 根据题意，函数f(x)＝2x2－1在区间(1，1＋Δx)上，其平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(21＋Δx2－1－2×12－1,1＋Δx－1)＝4＋2Δx. (2) 当平均变化率大于7时，求Δx的范围． 【解析】 (2) 由(1)知当4＋2Δx>7时，Δx>eq \f(3,2). 函数f(x)在区间(a，b)上的平均变化率 eq \x\to(v)＝eq \f(fb－fa,b－a). 变式　已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝eq \f(1,4)时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大． 【解析】 函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f([3－x0＋Δx2]－3－x\o\al(2,0),Δx)＝eq \f(－2x0·Δx－Δx2,Δx)＝－2x0－Δx. 当x0＝1，Δx＝eq \f(1,4)时，平均变化率的值为－eq \f(9,4)； 当x0＝2，Δx＝eq \f(1,4)时，平均变化率的值为－eq \f(17,4)； 当x0＝3，Δx＝eq \f(1,4)时，平均变化率的值为－eq \f(25,4). 因为－eq \f(9,4)>－eq \f(17,4)>－eq \f(25,4)，所以函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大． 类型2　瞬时变化率 　(1) 一质点位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝2t3，求在t＝1时质点的瞬时速度； 【解析】 (1) eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(y1＋Δt－y1 ,Δt)＝2eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(1＋Δt3－1,Δt)＝2eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (Δt2＋3Δt＋3)＝6，所以在t＝1时质点的瞬时速度是6 m/s. (2) 一质点速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)之间的关系为v(t)＝2t2，求在t＝1时质点的瞬时加速度． 【解析】 (2) 由题意知 v(t)＝2t2， eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(v1＋Δt－v1 ,Δt)＝2eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(1＋Δt2－1,Δt)＝4， 所以在t＝1时质点的瞬时加速度为4 m/s2. 当Δt无限趋近于0时，平均速度eq \x\to(v)(t)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt)的极限是物体在t0时的瞬时速度； 当Δt无限趋近于0时，加速度a(t)＝eq \f(vt0＋Δt－vt0,Δt)的极限是物体在t0时的瞬时加速度． 类型3　抛物线在某点处的切线 　已知抛物线f(x)＝－x2＋x－1在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为3，求该抛物线在点P处的切线方程． 【解析】 eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(－x0＋Δx2＋x0＋Δx－1－－x\o\al(2,0)＋x0－1,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) (－Δx－2x0＋1)＝－2x0＋1＝3， 解得x0＝－1，又因为f(x0)＝－3， 所以该抛物线在点P处的切线方程为y＋3＝3(x＋1)，即3x－y＝0. 求抛物线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，除传统方法之外，可通过以下三个步骤求解：①点P在抛物线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；②在P处斜率为k，即k＝ eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③点P在切线上，