4.3 第4课时 等比数列前n项和的性质及应用-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.3　等比数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第4课时 等比数列前n项和的性质及应用 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 －3 D 课堂评价·及时反馈 C B A ACD Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 理解等比数列前n项和的结构特征； 2. 掌握利用分组转化法求数列的前n项和； 3. 能利用等比数列的前n项和解决简单的实际问题. 类型1　等比数列前n项和的结构特征 　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，则a＝__________. 【解析】 方法一：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以a1＝6＋a，an＝Sn－Sn－1＝3×2n＋a－(3×2n－1＋a)＝3×2n－1(n≥2)，6＋a＝3，a＝－3. 方法二：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以q≠1，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q).令A＝eq \f(a1,1－q)，则Sn＝A－Aqn，Sn＝3×2n＋a＝a－(－3)×2n，a＝－3. 当公比q≠1时，设A＝eq \f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 类型2　等差数列、等比数列的综合 　(P38例11补充)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1) 求{an}的通项公式； 【解析】 (1) 设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4， 即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n. (2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn. 【解析】 (2) 由(1) 及已知得an＋bn＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝eq \f(21－2n,1－2)＋n×1＋eq \f(nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2. 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 类型3　等比数列的实际应用 　(P38例10补充)如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于( ) A. 2eq \r(3) B. eq \f(21\r(3),16) C. eq \f(85\r(3),64) D. eq \f(341\r(3),256) 【解析】 根据三角形中位线的性质可知这五个正三角形的边长形成等比数列{an}，前5项分别为2,1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，所以这五个正三角形的面积之和为eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(22＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2))＝eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋12＋\f(1,22)＋\f(1,24)＋\f(1,26)))＝eq \f(\r(3),4)×eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,45))),1－\f(1,4))＝eq \f(341\r(3),256). 变式　(P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1) 求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； 【解析】 (1) 由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，所以an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)(n≥2)． (2) 判断eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\