4.3 第3课时 等比数列前n项和公式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.3　等比数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第3课时 等比数列前n项和公式 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 211 28 2 C 课堂评价·及时反馈 B B C D BC Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式； 2. 掌握等比数列的前n项和的性质. 类型1　等比数列前n项和的基本运算 　(P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1) 若an＝3×2n，求S6； 【解析】 (1) 因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，于是S6＝eq \f(6×1－26,1－2)＝378. (2) 若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求S5； 【解析】 (2) 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，)) 从而S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2). (3) 若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 【解析】 (3) 由题意知q≠1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝\f(a1－anq,1－q)＝189，,q＝2，,an＝96，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,n＝6.)) (1) 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量：a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． (2) 运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论． 变式　若等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，则S5＝____________. 【解析】 因为等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，由a5＝a1q4得q4＝eq \f(a5,a1)＝eq \f(81,16).又因为q>0，所以q＝eq \f(3,2)，所以S5＝eq \f(a1－a5q,1－q)＝eq \f(16－81×\f(3,2),1－\f(3,2))＝211. 　(P36例8补充)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＋S4＝S6，求其公比q. 【解析】 ①若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意； ②若q≠1，则eq \f(a11－q2,1－q)＋eq \f(a11－q4,1－q)＝eq \f(a11－q6,1－q)，整理得(q2＋1)(q＋1)2(q－1)2＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)．综上，公比q的值等于1或－1. 变式　在等比数列{an}中，若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，则a1＋q＝______________. 【解析】 因为在等比数列{an}中，a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，所以当q＝1时，S3＝3a1＝eq \f(9,2)，a1＝eq \f(3,2)； 当q≠1时，S3＝eq \f(a1×1－q3,1－q)＝eq \f(9,2)，a1×(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，又a3＝eq \f(3,2)＝a1×q2，两式相除得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3,2q2－q－1＝0，解得q＝－eq \f(1,2)或1.因为q≠1，所以q＝－eq \f(1,2)，a1＝6.综上所述，q＝－eq \f(1,2)，a1＝6或q＝1，a1＝eq \f(3,2)，故a1＋q＝eq \f(11,2)或eq \f(5,2). eq \f(11,2)或eq \f(5,2) 类型2　等比数列前n项和的性质 　(1) 在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝__________； 【解析】 因为数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，所以S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7,91－S4构成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a