4.3 第1课时 等比数列的概念及通项公式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第四章　数列 4.3　等比数列 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 第1课时 等比数列的概念及通项公式 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 素养养成·学透教材 4 B B 课堂评价·及时反馈 B C B AB 6 Thank you for watching 第*页 第四章　数列 5A新学案 数学 · 选择性必修第二册 学习 目标 1. 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式； 2. 掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用； 3. 会灵活设元求解等比数列问题. 类型1　等比数列通项公式及应用 　(P29例1补充)在等比数列{an}中： (1) 若a2＝18，a4＝8，求a1与q的值； 【解析】 设等比数列{an}的公比为q. (1) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝18，,a4＝8，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝18，,a1q3＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3).)) (2) 若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3的值． 【解析】 (2) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5－a1＝15，,a4－a2＝6，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝15，,a1q3－a1q＝6，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q2＋1q2－1＝15，,a1qq2－1＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.)) 所以a3＝a1q2＝±4. 1. 从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1×qn－1中，包含了四个量，知道其中的任意三个都可以求出另一个，即“知三求一”． 2. 已知数列中的两项，求公比q，或已知一项、公比和其中一项的序号，求序号对应的项时，通常应用变形an＝am×qn－m. 变式　在等比数列{an}中： (1) an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 【解析】 设首项为a1. (1) a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5. (2) a4＝2，a7＝8，求an； 【解析】 (2) 方法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，　①,a1q6＝8.　②)) 由eq \f(②,①)得q3＝4，从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝2. 方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝eq \r(3,4).所以an＝a4qn－4＝2·(eq \r(3,4))n－4＝2. (3) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，若an＝1，求n. 【解析】 (3) 方法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，　③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，　④))由eq \f(④,③)得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝eq \f(1,2).由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 类型2　等比中项 　(P29例1补充)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________. 【解析】 因为an＝(n＋8)d，又因为aeq \o\al(2,k)＝a1·a2k，所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4. (1) 由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． (2) 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． (3) a，G，b成等比数列⇔G2＝a