常考题型16 指数与对数运算的常考点方法总结-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型16 指数与对数运算的常考点方法总结 必备知识 1.幂的有关概念 (1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。 (2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。 (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2.有理数指数幂的性质 (1)(a>0，r，s∈Q)； (2)(a>0，r，s∈Q)； (3)(a>0，b>0，r∈Q)。 3.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)； (2)； (3)(n∈R)； (4)(m≠0)。 4.对数的性质 (1)(a>0且a≠1，N>0)； (2)(a>0且a≠1)。 3.对数的重要公式 (1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)； (2)，推广：。 方法指导 1.指数幂的运算遵循的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； 2.对数式化简或求值的两种思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并； (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算； 题型探究一 探究一：分数指数幂与根式的互化 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。 【答案】B 【详解】解：对A：，故选项A错误； 对B：，故选项B正确； 对C：，不能化简为，故选项C错误； 对D：因为，所以，故选项D错误. 故选：B. 【变式练习】 1．已知，则化为（    ） A． B． C．m D．1 【答案】C 【详解】，. 故选：C． 2．若有意义，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即. 故选C. 探究二：指数幂的化简、求值 若，则等于（    ） A． B． C． D． 思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果 【答案】C 【详解】，， 因此，. 故选：C. 【变式练习】 1．已知，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B 2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　) A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x， ∴x9＝9x.∴x8＝9. ∴x＝＝. 故选B. 探究三：指数式和对数式的互化 设，则（    ） A． B． C． D． 思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。 【答案】B 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【变式练习】 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】，故正确； ，故正确； ，，故不正确； ，故正确． 故选：C． 2．将转化为对数形式，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【详解】根据对数的定义和．故选：C． 探究四：对数的运算 若，且，则（    ） A． B． C． D． 思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。 【答案】D 【详解】因为，于是得，， 又因为，则有，即，因此，，而，解得， 所以. 故选：D 【变式练习】 1．设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选B. 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．或4 【答案】B 【详解】依题意有，，设，， 即，解得或． 当时，，此时不满足，舍去，所以． 故选B． 题型突破训练 一、单选题 1．设则的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选. 2．若，则(　　) A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，.故选C. 3．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 又， . 故选：B. 4．设，且，则（    ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】A 【详解】由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得． 故选：A. 5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(