第7章 专题4 第2课时 空间角及空间距离（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二课时　空间角及空间距离 　直线与平面所成的角 讲练融通 (2021·浙江卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 思维 导引 学科素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)利用勾股定理判定DM⊥DC，进而证明DC⊥平面PDM，再利用线面垂直的性质证明AB⊥平面PDM，再证明AB⊥PM. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值 (1)证明：在△DCM中，易知DC＝1，CM＝2，∠DCM＝60°， 由余弦定理，得DM2＝CD2＋CM2－2CD·CMcos∠DCM＝1＋4－2×1×2×＝3，所以DM＝， 所以DM2＋DC2＝CM2，所以△DCM为直角三角形，且∠CDM＝90°，即DM⊥DC. 又因为DP⊥DC，DP∩DM＝D，DP，DM⊂平面PDM，所以DC⊥平面PDM. 因为AB∥DC，所以AB⊥平面PDM. 因为PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM. (2)解：如图，连接AM.因为AB∥CD，AB⊥PM，所以PM⊥CD. 又因为PM⊥MD，DM∩DC＝D，DM，DC⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD. 因为AM⊂平面ABCD，所以PM⊥AM. 由余弦定理，得 AM＝ ＝＝， 所以PM＝＝＝2. 取AD的中点为E，连接ME，则ME，DM，PM两两垂直．以M为坐标原点，分别以MD，ME，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 可得A(－，2，0)，P(0，0，2)， D(，0，0)，M(0，0，0)，C(，－1，0)． 因为N为PC的中点， 所以N(，－，)，＝(，－，)． 由(1)可知，DC⊥平面PDM， 所以平面PDM的一个法向量为＝(0，－1，0)． 设直线AN与平面PDM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝. 方　法　规　律 利用向量求线面角的两种方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角． 练1　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC内的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E. (1)证明：四边形BB1ED为矩形； (2)若AB与平面AA1C1C所成角的正切值为，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值． (1)证明：取A1C1中点为E，连接B1E，DE，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形， 所以B1B∥A1A， 又因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1， 所以B1B∥平面A1ACC1. 因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE. 因为在三棱柱ABC­A1B1C1中， 平面ABC∥平面A1B1C1， 平面BB1D∩平面ABC＝BD， 平面BB1D∩平面A1B1C1＝B1E，所以BD∥B1E， 所以四边形BB1ED为平行四边形． 在△ABC中，因为AB＝BC，D是AC的中点， 所以BD⊥AC. 由题可知A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BD， 因为AC∩A1D＝D， 所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE，故四边形BB1ED为矩形． (2)解：由(1)知DB，AC，A1D两两垂直，以点D为坐标原点，以DB，DC，DA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设AD＝1，由题可知BD＝， 在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以A1D＝， 所以D(0，0，0)，A(0，－1，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，1，0)，则＝(0，1，)，＝(，1，0)，＝(，－1，0)． 因为C(0，1，0)，所以＝＋＝＋＝(，0，)． 设平面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以令z＝1，所以n＝(，－，1)． 设CB1与平面ABB1A1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 故CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为. 　二面角问题 多维贯通 　向量法求二面角的值或三角函数值 (2021·新高考卷Ⅱ)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值. 思维 导引 学科素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算