数列专题：利用递推关系求通项公式的8种常用方法-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

数列专题：利用递推关系求通项公式的8种常用方法 一、利用与的关系求通项公式 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 二、累加法求通项 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 三、累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 四、构造法求通项 对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下： 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 五、不动点法求通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 题型一 Sn与an型求通项 【例1】已知数列的前项和，满足关系（，），求的通项公式． 【答案】 【解析】由得， 则时，； 时，， 当n=1时，， ∴ 【变式1-1】数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，， 所以，而， 所以数列从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列， 所以，故选：C． 【变式1-2】已知为数列的前项和，且，则的值为___________. 【答案】0 【解析】， ， 两式作差，得， 即, 所以， 所以或， 当时，从第二项起为等差数列，公差为， 与已知相矛盾， 当时，， 又，所以， 而，所以， 由题知，令，得，即， 所以，得 故答案为：0. 【变式1-3】已知数列满足，则数列的通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列满足 所以当n=1时， 当时，有 所以，所以. 经检验，对n=1不符合， 所以，故选：D 【变式1-4】设数列的前项和为，若，，则的通项公式为____． 【答案】 【解析】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，； 当时，； 当时，； 经检验：不满足； 故答案为：. 题型二 累加型求通项 【例2】在数列中，，，则（ ） A．958 B．967