函数的周期性和对称性 课件——2023届高三数学一轮复习

函数的性质 --对称性、周期性 (1)若 关于直线 对称 一、函数的对称性 若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。 (2)若 关于点 对称 两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造. 定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。 cor.若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。 即： Y X O A B X=a 定理：若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。 cor.若函数 满足 ，那么函数关于点 对称 。 即： Y X O A B (a,0) 2)若 ,则函数 关于______________对称; 注：1.当 时,函数关于直线 对称 2.当 时,函数关于点 对称 偶函数----特殊的轴对称函数 奇函数----特殊的点对称函数 一般地,1)若 ,则函数 关于 对称. y=f(x) 对称源 性质 点(0,0) y轴 y=x x=m 点(m,n) f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) f(x)=f-1(x) f(x)=f(2m-x) f(x)=2n-f(2m-x) Ex:若函数 12 关于x=0对称 例1：已知 的图象,画出 和 的图象，并指出两者的关系。 (-1,0) (1,0) 若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在 上，就称 和 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。 一般地, 函数 和 关于_______对称. 记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴. 变化前 对称源 变化后 y=f(x) 点(0,0) x轴 y轴 y=x y=-x 直线x=m 直线y=n 点(m,n) y=-f(-x) y=-f(x) y=f(-x) y=f-1(x) y=-f-1(-x) y=f(2m-x) y=2n-f(x) y=2n-f(2m-x) 例3：设 的图象与 的图象关 于直线 对称，求 的解析式。 例2:将函数 右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点 对称，求C2的函数解析式。 利用对称性求解析式 （一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式 例4：设 图象关于直线 对称,在 上， 求当 时 的解析式。 例5：设 是定义在R上的偶函数，它的图 象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式 (二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换 关于直线 对称 关于直线 对称 关于 对称 关于点 对称 常见函数的对称性 一个函数本身的对称性称为自对称,分成 关于某直线对称或某点对称. 原点 二、函数的周期性 理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？ 1.定义:对于函数 ，若存在非零常数T，使得 恒成立，则称 为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。 (2).若T是 的一个周期，则kT（k是非零整数）均是 的周期吗？ (3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？ T= (a-b) 思考：若 ,函数 具有什么性质？ 注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件 2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明) 3.函数的对称性与周