专题15 对数函数性质综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题15 对数函数性质综合应用 目录 【题型一】对数函数绝对值f（x）=|logax| 1 【题型二】 对数函数性质1：真数无理型奇偶性 4 【题型三】对数函数性质2：真数反比例型奇偶性 5 【题型四】对数函数性质3：指对混合型奇偶函数 7 【题型五】对数函数性质4：指对混合型对称中心在y轴 9 【题型六】对数函数性质5：指对混合型中心对称 10 【题型七】对数函数恒成立求参 12 【题型八】对数函数最值型 14 【题型九】对数函数的零点 15 【题型十】对数应用：构造函数 17 培优第一阶——基础过关练 19 培优第二阶——能力提升练 22 培优第三阶——培优拔尖练 25 【题型一】对数函数绝对值f（x）=|logax| 【典例分析】 函数，若，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，且， 故，， . ， 在上递增，，， 所以， 所以的范围是.故选：A. 【提分秘籍】 基本规律 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 【变式训练】 1.已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值________ 【答案】## 【分析】先画出分段函数的大致图像，找出与的四个交点之间的关系，将转化为只含有一个变量（如）的形式，然后根据变量的范围，从而求得的最小值为 【详解】当时，； 当时，； 当时， 由题意，作函数的图像，如下图所示： 易知与直线有四个交点，分别为，，， 因为有四个不同的解，且 所以，且， 又， 所以，即，则 所以，且 构造函数，且 可知在上单调递减，且 所以的最小值为故答案为： 2.设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】方程的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，可画出函数图象，结合二次函数的对称性和对数函数的性质求解. 【详解】函数图象如图所示： ∵关于的方程有四个实数解， ∴函数的图象与直线有四个交点，交点的横坐标分别为，，，，且， 当时，与关于的对称轴对称， ∴.当时，，且，∴，，， ∴∴，∴，，，∴， 又∵，∴，∴.令，当时，函数单调递减， ∴，即，∴. 故答案为：. 3.已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：作出的图像如图： 当时，由，得，若互不相等，不妨设，因为， 所以由图像可知，由，得， 即，即，则，所以，因为，所以， 即，所以的取值范围是．故答案为：． 【题型二】 对数函数性质1：真数无理型奇偶性 【典例分析】 设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数， 于是等价转化为，得，即对任意的，， 从而有，即可求解. 【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R. 又因为函数在上为增函数。所以在上为减函数， 从而在R上为减函数.于是等价于。， 所以，即.因为，所以，所以， 解得.故答案为:. 【提分秘籍】 基本规律 形如)是奇函数。 【变式训练】 1.若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______． 【答案】4 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为为定义域上的奇函数， ， 所以恒成立解得. 故答案为：4. 2.若函数为奇函数，则满足的的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求参数m，再判断的单调性，进而由单调性求函数不等式的解集. 【详解】由题意，，则，即，得． 所以，则函数在上单调递减， 所以，可得，则． 故答案为： 3.已知函数，若对任意的正数，满足，则_________. 【答案】1 【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数为定义域上的奇函数，然后利用复合函数的单调性可得函数单调递减，再结合条件即得. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由 ， 即，所以函数为上的奇函数，又， 当时，函数单调递增，单调递减，单调递增， 故函数单调递减，又函数为上的奇函数，∴函数在上单调递减， 因为，即 所以，即.故答案为：. 【题型三】对数函数性质2：真数反比例型奇偶性 【典例分析】 设函数是定义在区间上的奇函数（，），则实数n取值范围为______． 【答案】 【分析】由奇函数的定义和对数的运算性质，解方程可得，再由对数的真数大于0解不等式，然后利用集合的包含关系即可求解． 【详解】解：因为函数是定义在区间上的奇函数， 所以，即， 所以，即，所以，解得，又， 所以，此时，，由，解得，所