第九章 9．3．3　向量平行的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

设 B(0，0)，C(2，0)，则 A(1 ( ， ) ( - )2 ， 3 2 )，D(5 2 3 ). 2 ( BD ) ( ， )设 E(m，0)，则→ ＝(5 2 ， 3 2 )， → ＝(m-1 ( AE )2 3 )， 2 由 AE⊥BD，得→ · → ＝0， 即5 (m-1 2 2 )- 3 2 AE × 3 2 BD ＝0，解得 m＝4 ， 5 所以 BE∶EC＝4 5 ∶6 ＝2∶3． 5 9．3．3 向量平行的坐标表示 课程标准 核心素养 能用坐标表示平面向量共线的条件． 1. 数学运算：利用数乘向量的坐标运算法则解决向量共线问题． 2. 数学抽象：理解用坐标表示两向量共线的条件． 知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】问题：1．向量共线定理的内容是什么？ 2．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.若 a 与 b 共线，如何用坐标表示这两个共线向量？ 提示：1．向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa. 2．因为 a 与 b 共线，当且仅当存在实数λ，使 a＝λb.如果用坐标表示， x1＝λx2， 可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即 y1＝λy2， 消去λ后得 x1y2-x2y1＝0. 1. 两向量共线的充要条件 【知识概括】 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则 a∥b 共线的充要条件是 x1y2-x2y1＝0． 2. 中点坐标公式 x1＋x2 y1＋y2 ， 若 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段 P1P2 的中点 P 的坐标是 2 2 . 【要点解读】 (1) 两向量共线的充要条件可变形为 x1y2-x2y1．巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”． (2) 两个向量共线的坐标表示还可以写成x1 x2 ＝y1 y2 (x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴 的共线向量的对应坐标成比例． (3) 当 a≠0，b＝0 时，a∥b，此时 x1y2-x2y1＝0 也成立，即对任意向量 a，b 都有 x1y2-x2y1 ＝0⇔a∥b. [示例](教材P37 练习 3 改编)已知平面向量 a＝(x，1)，b＝(1，2)，若 a∥b，则实数 x＝( ) A．-2 B．5 ( ． )C 1 D．-5 2 解析：选 C.∵a＝(x，1)，b＝(1，2)，a∥b，∴2x-1×1＝0，解得 x＝1 . 2 [对点练]判断下列各组中的向量是否平行： (1)a＝(1，3)，b＝(2，4)； (2)a＝(1，2)，b＝(1 2 ，1). 解：法一 (1)∵1×4-3×2＝-2≠0， ∴a 与 b 不平行． (2)∵1×1-2×1 2 ＝0，∴a∥b. ( ∵ ) ( ≠ )法二 (1) 1 3 2 4 ，∴a 与 b 不平行． 1 2 (2)∵1 ＝1 2 ，∴a∥b. 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 判断(证明)向量平行(共线) 向量共线的判定方法 ( AE )[例 1](2022·安徽宣城高一检测)已知 A(－1，0) ，B(3，－1) ，C(1，2) ，且→ ＝1 3 → AC ， ( . )→ 1 → BF ＝ BC 3 (1) 求点 E，F 的坐标； ( EF ) ( AB ) ( . )(2)求证： → ∥→ 解：(1)设点 E(a，b) ， → 1 → ( ) 1 ( 2，2 ) ∵AE ＝ AC 3 ，即 a＋1，b ＝ 2，2 ＝ 3 3 ， 3 a＋1＝2， 3 a＝－1， 3 －1，2 ∴ b＝2， 解得 b＝2， 故 E 3 3 . 3 3 设点 F(c，d) ， → ∵BF 1 → ＝ BC 3 ，即(c－3，d＋1) 1 ( ＝ )3 (－2，3) －2，1 ＝ 3 ， c－3＝－2， ∴ 3 d＋1＝1， c＝7， 解得 3 d＝0， 7，0 故 F 3 . → ( ) → 8，－2 → 3 → → → (2) 证明：AB ＝ 4，－1 ，EF ＝ 3 3 ，故AB ＝ EF 2 ，∴EF ∥AB . [即时练]1．已知点 A(-1，-1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，向量→ 与→ 平行吗？直线 AB 平行于直线 CD 吗？ 解：因点 A(-1，-1), B(1，3)，C(1，5), AB CD ( AB )D(2，7)，则→ ＝(2， → 4), CD ＝(1，2)， 显然有 2×2-1×4＝0，于是得→ ∥ → AB CD . → → → → 因AC ＝(2，6), 而AB ＝(2，4)，即有 2×4-2×6≠0，则AC 与AB 不平行， 即点 A，B，C 不