第九章 9．3．2　高效课时1 向量的坐标表示、向量 线性运算的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

－λ＝1μ－1， 2 λ＝2， 3 所以 1λ＝1－μ， 解得 μ＝2． 2 → → → 3 2 → 2 －a＋1b 1 1 则CG ＝CA ＋AG ＝a＋ 3 AD ＝a＋ ( CG )3 2 ＝ a＋ b. 3 3 ( CF )又因为→ 相交于一点． ＝1 a＋1 2 2 b，所以→ 2 → ＝ CF 3 ，所以 G 在中线 CF 上，所以 AD，CF，BE 9．3．2 向量坐标表示与运算 高效课时 1/ 向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正 1．逻辑推理：了解平面向量的正交分解，掌 握向量的坐标表示． 交分解及坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的线性运算． 2．数学运算：理解向量坐标的概念，掌握两 个向量和、差的坐标运算法则及数乘运算. 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的坐标表示 【情境导入】 飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v，可分解为沿水平方向的速度vcos α和沿竖直方向的速度vsin α. 从上面的实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的 方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段． 问题：(1)怎样分解一个向量才为正交分解？ (2)在平面内，e1，e2 是两个互相垂直的非零向量，这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示？表示是否唯一？ 提示：(1)把一个向量分解为互相垂直的两个向量． (2)由平面向量基本定理可知，平面内的任一向量都可以用 e1，e2 来表示，且表示方法是唯一的. 1. 平面向量的正交分解 【知识概括】 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示 3. 向量坐标与点的坐标的关系 ( OA OA OA )在平面直角坐标系中，以原点 O 为起点作→ ＝a，设→ ＝xi＋yj，则向量→ 的坐标(x， y) 就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标(x，y)也就是向量 a 的坐标． 【要点解读】 1. 当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标才与其终点的坐标相等． 2. 给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一个有序实数对，由于向量可以平移，以这 对实数为坐标的向量有无穷多个． 3. 两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同． 4. 如果 a＝xi＋yj，并不能说向量 a 的坐标为(x，y).只有当 i，j 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫作向量 a 的(直角)坐标． 5. 点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形 式不同 向量 a＝(x，y)中间用等号连接，而点 A(x，y)中间没有等号 意义不同 点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，α＝(x，y) 的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以 表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 [示例]1．(教材 P29 例 2 改编)根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是 1． 解：由题可知：a＝2i＋3j＝(2，3) ，b＝-2i＋3j＝(－2，3) ，c＝-3i-2j＝(－3，－2) ，d ＝3i-3j＝(3，－3) . [对点练]1．设 i＝(1，0)，j＝(0，1)，向量 a＝2i-3j，则向量 a 的坐标为 ． 解析：由平面向量坐标的定义可得． 答案：(2，-3) 知识点二 平面向量加、减的坐标运算 【情境导入】 问题：已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出 a＋b，a-b 的坐标吗？ 提示：(1)a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1i＋x2i)＋(y1j＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，所以 a ＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). (2)a-b＝(x1i＋y1j)-(x2i＋y2j)＝(x1i-x2i)＋(y1j-y2j)＝(x1-x2)i＋(y1-y2)j， 所以 a-b＝(x1-x2，y1-y2). 设向量 a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ， 【知识概括】 数学公式 文字语言表述 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和 减法 a-b＝(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的差 重要结论 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则→ ＝ AB (x2-x1，y2-y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐