第九章 9．2．3　向量的数量积（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

解析：选 C.因为→ ＝ → ＋ → ＋ → ，所以→ ＝ → ＋ → ，记 BC 中点为 D， 则→ → OP OA λ(AB AC ) AP λ(AB AC ) AP ＝2λAD ，因为λ∈[0，＋∞)，所以点 P 的轨迹为射线 AD，所以 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心． 10．如图，在△ABC 中，F 是 BC 中点，直线 l 分别交 AB，AF， ( AD ) ( λAB )AC 于点 D，G，E.如果→ ＝ → ， → ＝ → ，λ，μ∈R. 求证 ( AE ) ( μAC )G 为△ ABC 重心的充要条件是 1 λ ＋ 1 ＝3． μ → → → 2 → 2 1 (→ → ) 1 AD＋AE 证明：充分性：若 G 为△ ABC 重心，则AG ＝ 3 AF ＝ × 3 2 AB＋AC ＝ λ μ ， 3 → → → → ( → →) → → 又因点 D，G，E 共线，设EG ＝tED ，则AG -AE ＝t AD－AE ，所以AG ＝tAD ＋ ( ， ) ( AE )(1－t) → 1 ＝t， → 因为AD → ，AE 3λ 不共线，所以 1 两式相加即得 1 ＋ 1 ＝3． 必要性：若 1 λ ＝1－t， λ μ 3μ ＋ 1 ＝3，又因点 A，G，F 共线， μ → → → → x (→ → ) x AD＋AE → → 则AG ＝xAF ＝ 2 x ＝t， 2λ AB＋AC ＝ λ μ 2 ＝tAD ＋(1－t) AE ， 所 以 x ＝1－t， 相加得 x＝2 3 ，即 G 为△ ABC 重心． 2μ 故 G 为△ ABC 重心的充要条件是 1 ＋ 1 λ μ ＝3． 9．2．3 向量的数量积 课程标准 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的 数量积． 1. 数学抽象：理解平面向量的数量积的定义． 2. 直观想象：了解投影向量的概念． 3. 逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运 ( 通过几何直观，了解平面向量投影的概念 以及投影向量的意义． 会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系． ) ( 算律，并会应用． ) 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 平面向量的数量积 【情境导入】 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积为力对物体所做的功，如图 所示，如果作用在小车上的力 F 的大小为|F|N，小车在水平面上位移 s 的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为 W＝|F||s|cos θ. 问题：(1)功 W 与力向量 F 及位移向量 s 有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量 a，b，能确定一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 提示：(1)功 W 由向量 F 和 s 的大小以及这两个向量方向的差异确定． (2)一般地，给定任意两个向量 a，b，能确定一个类似的标量．这个标量为两向量的模长乘以其夹角的余弦． 1. 向量的数量积 【知识概括】 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫作向量 a 与 b 的数量积， 记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos_θ．规定零向量与任一向量的数量积为 0． 2. 投影向量 → 如图①，设 a，b 是两个非零向量，AB 作→ → ＝a，CD → ＝b，过AB 的起点 A 和终点 B，分别 CD 所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到 A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A1B1 叫作向量 a 在向量 b 上的投影向量． 如图②，在平面内任取一点 O，作 → ＝a， → ＝b，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足 OM ON → 为 M1，则 OM 1 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量． 【要点解读】 1. 两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为 0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2. 两个向量的数量积称为内积，应写成 a·b，不能写成 a×b(两向量的外积)，它与代数中数 a、 b 的乘积 ab(或 a·b)是不同的． 3. 若与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为θ，则 OM1＝|a|cos θe. [示例]1．(教材 P23 习题 9．2(3)第 2 题改编)已知|a|＝ 3 ，|b|＝2 3 ，a 与 b 的夹角是 120°，则 a·b 等于( ) A．3 B．-3 C．-3 3 D．3 3 －1 解析：选 B.由数量积的定义，得 a·b＝|a||b|cos 120°＝ 3 ×2 3 × 2 ＝-3． [对点练]1．(2022·山东菏泽高三期末)