第九章 9．2．2　向量的数乘（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

7. ( | AB )已知 → ＝10， → ＝7，则 → 的取值范围是( ) ( | ) ( | AC ) ( | ) ( | BC ) ( | )A．[3，17] B．(3，17) C．(3，10) D．[3，10] → 解析：选 A.∵|AB → |-|AC → |≤|BC → |≤|AC → |＋|AB |， ( | BC ) ( | ) ( AB ) ( AC )∴3≤ → ≤17，等号成立当且仅当→ 与→ 共线时． 8. ( | AB )边长为 1 的正三角形 ABC 中， → → -BC |的值为( ) ( D ． 3 )A．1 B．2 C． 3 2 解析：选 D.如图延长 AB 到 D.使 AB＝BD. → ∴AB → → ＝BD → → → → ∴|AB -BC |＝|BD -BC |＝|CD | ∵△ABC 为边长为 1 的正三角形． ∴∠ABC＝60° ，∴∠D＝∠BCD＝30° ， ∴△ACD 为直角三角形， ( | AD | － | AC | → 2 → 2 )→ ∴|DC ( ∴ )→ |AB |＝ → -BC |＝ 3 . ＝ 3 ， 9. 三个大小相同的力 a，b，c 作用在同一物体 P 上，使物体 P 沿 a 方向做匀速运动， → 设PA → ＝a，PB → ＝b，PC ＝c，判断△ABC 的形状． 解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为 0，即 a＋b＋c＝0.所以 a＋c＝-b.如图，作平行四边形 APCD 为菱形． ( PD )→ ＝a＋c＝-b，所以∠APC＝120° . 同理∠APB＝∠BPC＝120° . 又因为|a|＝|b|＝|c|， 所以△ABC 为等边三角形． 9.2.2 向量的数乘 课程标准 核心素养 1．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面 向量共线的含义． 1. 数学抽象：了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2. 数学运算：理解并掌握向量数乘的运算律， 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意 会进行向量的数乘运算． 义． 3．逻辑推理：理解并掌握两向量共线的性质 及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理 有关向量共线问题． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的数乘运算 【情境导入】 在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在 同一方向上光速远远大于音速，经测量，光速大小约为音速的 8．7×105 倍． 问题：(1)光速和音速是向量还是数量？ (2)“同一方向上”的光速和音速有什么关系？ (3)如何描述光速和音速的这一关系？ 提示：(1)速度既有大小又有方向，所以是向量． (2)“同一方向上”的光速和音速是两个共线向量，且方向相同． (3)光速可以用音速乘上 8．7×105 来表示. 【知识概括】 一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)若 a≠0，则当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反． 实数λ与向量 a 相乘的运算，叫作向量的数乘． 特别地，当λ＝0 时，0a＝0； 当 a＝0 时，λ0＝0. 1. 数乘的理解 【要点解读】 (1) 数乘向量的结果仍是一个向量．λa 中的实数λ叫作向量 a 的系数； (2) 不要忽略特殊情况：当λ＝0 时，λa＝0.当λ≠0 时，若 a＝0，也有λa＝0； (3) 实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2. 向量数乘的几何意义是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向放大或缩小．当λ＞0 时，沿着 a 的方向放大(λ＞1)或缩小(0<λ<1) λ倍；当λ＜0 时，沿着 a 的反方向放大(|λ|＞1)或缩小 (|λ|<1) |λ|倍． [示例]1．(教材 P15 例 1 改编)若|a|＝5，b 与 a 方向相反，且|b|＝7，则 a＝ b. 解析：由题意知 a＝ 5 - b. 7 答案：-5 7 [对点练]1．判断正误． (1)λa 的方向与 a 的方向一致．( ) (2)若λa＝0，则 a＝0.( ) (3)对于任意实数 m 和向量 a，b，若 ma＝mb，则 a＝b.( ) 解析：(1)a≠0 时，若λ<0，则方向相反； (2)也可能λ＝0； (3)当 m＝0 时，结论不一定成立． 答案：(1)× (2)× (3)× 知识点二 向量数乘的运算律 【情境导入】 问题：求作向量 3(2a)和 6a，(2＋3)a 和 2a＋3a，2(a＋b)和 2a＋2b(a 为非零向量)，并进行比较． 提示： 由图形可以得出：3(