第九章 9．4　向量应用（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

数学必修第二册（苏教） 知识探究区——注重知识生成过程 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 利用向量解决平面几何中的问题 题型二　向量在物理中的应用 易错系列(九)——应用向量解决物理问题时忽略影响因素 9．4　向量应用 课程标准 核心素养 1．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1．数学建模、逻辑推理：会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2．数学建模、数学运算：会用向量方法解决物理中的速度、力学问题． 知识点一　向量在平面几何中的应用 【情境导入】 问题：通过前面我们学习的向量知识，你认为能够解决哪些平面几何中的问题？ 提示：平面几何中求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，都可以转化为平面向量中的模长、夹角、垂直问题解决． 【知识概括】 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【要点解读】 用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． [示例]1．(教材P39练习2改编)在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC. 证明：设 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝b，则 eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) － eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝b－a. 又AM＝2MB，AN＝2NC.所以 eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) a， eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) b. 在△AMN中， eq \o(MN,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AN,\s\up16(→)) － eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a)) ， 所以 eq \o(MN,\s\up16(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→)) ，即 eq \o(MN,\s\up16(→)) 与 eq \o(BC,\s\up16(→)) 共线，故MN∥BC. [对点练]1．在四边形ABCD中， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) ， eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，2)) ，求该四边形的面积． 解：因为在四边形ABCD中， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(1，2)， eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝(－4，2)， eq \o(AC,\s\up16(→)) · eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又| eq \o(AC,\s\up16(→)) |＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ， | eq \o(BD,\s\up16(→)) |＝ eq \r(（－4）2＋22) ＝2 eq \r(5) ， 所以该四边形的面积为 eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up16(→)) |·| eq \o(BD,\s\up16(→)) |＝ eq \f(1,2) × eq \r(5) ×2 eq \r(5) ＝5． 知识点二　向量在物理中的应用 【情境导入】 在生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力． 在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力． 问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？ 提示：从力的合成与分解方面进行解释，详见教材例3． 【知识概括】 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 【要点解读】 向量在物理中应用时要注意三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的