第九章 9．2．3　向量的数量积（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

数学必修第二册（苏教） 知识探究区——注重知识生成过程 |a||b|cos θ a·b 0 a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 ≤ b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 能力提升区——注重题型技法阐释 能力提升区——注重题型技法阐释 题型二 求向量的投影向量 题型三 与向量模有关的计算 题型四 向量的夹角与垂直问题 9．2．3　向量的数量积 课程标准 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1．数学抽象：理解平面向量的数量积的定义． 2．直观想象：了解投影向量的概念． 3．逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用． 知识点一　平面向量的数量积 【情境导入】 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ. 问题：(1)功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量a，b，能确定一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 提示：(1)功W由向量F和s的大小以及这两个向量方向的差异确定． (2)一般地，给定任意两个向量a，b，能确定一个类似的标量．这个标量为两向量的模长乘以其夹角的余弦． 【知识概括】 1．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量________________________ 叫作向量a与b的数量积，记作_________，即_____________________________．规定零向量与任一向量的数量积为___． a·b＝|a||b|cos θ 2．投影向量 如图①，设a，b是两个非零向量， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝b，过 eq \o(AB,\s\up16(→)) 的起点A和终点B，分别作 eq \o(CD,\s\up16(→)) 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，___________叫作向量a在向量b上的投影向量． 　　 如图②，在平面内任取一点O，作 eq \o(OM,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(ON,\s\up16(→)) ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则_____就是向量a在向量b上的投影向量． 【要点解读】 1．两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、 b的乘积ab(或a·b)是不同的． 3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1＝|a|cos θe. [示例]1．(教材P23习题9．2(3)第2题改编)已知|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－3． 答案：B [对点练]1．(2022·山东菏泽高三期末)已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为O，则 eq \o(OA,\s\up16(→)) · eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝___________． 解析：因为正六边形ABCDEF边长为1，其中心为O，所以〈 eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OC,\s\up16(→)) 〉＝120°，| eq \o(OA,\s\up16(→)) |＝| eq \o(OC,\s\up16(→)) |＝1，所以 eq \o(OA,\s\up16(→)) · eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝1·1·cos 120°＝－ eq \f(1,2) . 答案：－ eq \f(1,2) 知识点二　平面向量数量积的性质及运算律 【情境导入】 问题：1．已知两个非零向量a与b，根据它们的数量积公式，分析并回答以下问题： (1)a与b垂直时，数量积有什么特点？反之呢？ (2)当