第六章 6．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3 平面向量加、减运算的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

→ 又AG → ＝λAD → ＝λ(AC → ＋CD )＝λ －a＋1b 2 ＝－λa 1 ( ＋ )2 λb， －λ＝1μ－1， 2 λ＝2， 3 所以 1λ＝1－μ， 解得 μ＝2． 2 → → → 3 2 → 2 －a＋1b 1 1 则CG ＝CA ＋AG ＝a＋ AD 3 ＝a＋ 3 2 ＝ a＋ b． 3 3 → 又因为CF 1 a＋1 ( ＝ )2 2 → 2 b，所以CG ＝ 3 → ，所以 G 在中线 CF 上，所以 AD， ( CF )CF，BE 相交于一点． 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的加、减运算． 1．逻辑推理：了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．数学运算：理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运 算法则． 知识探究区——注重知识生成过程知识点一 平面向量坐标的相关概念 【情境导入】 飞机沿仰角为α的方向起飞的速度 v，可分解为沿水平方向的速度 v cos α和沿竖直方向的速度 v sin α. 从上面的实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段． 问题：(1)怎样分解一个向量才为正交分解？ (2)在平面内，e1，e2 是两个互相垂直的非零向量，这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示？表示是否唯一？ 提示：(1)把一个向量分解为互相垂直的两个向量． (2)由平面向量基本定理可知，平面内的任一向量都可以用 e1，e2 来表示，且表示是唯一的. 1. 平面向量的正交分解 【知识概括】 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2. 平面向量的坐标表示 3. 向量坐标与点的坐标的关系 ( OA OA )在平面直角坐标系中，以原点 O 为起点作→ ＝a，设→ ＝xi＋yj，则向量 ( OA )→ 的坐标(x，y)就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标(x，y)也就是向量 a 的坐标． 【要点解读】 1. 当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标才与其终点的坐标相等． 2. 给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一个有序实数对，由于向量可以 平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个． 3. 当且仅当两向量的坐标相同，两个向量相等． 4. 如果 a＝xi＋yj，并不能说向量 a 的坐标为(x，y).只有当 i，j 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫做向量 a 的(直角)坐标． 5. 点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形式不同 向量 a＝(x，y)中间用等号连接，而点 A(x， y)中间没有等号 意义不同 点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，α＝(x，y)的坐标(x， y)既表示向量的大小，也表示向量的方向， 另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向 量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 [示例]1.(教材 P29 例 3 改编)根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是 1. 解：由题可知：a＝2i＋3j＝(2，3) ，b＝－2i＋3j＝(－2，3) ， c＝－3i－2j＝(－3，－2) ，d＝3i－3j＝(3，－3) . [对点练]1.设 i＝(1，0)，j＝(0，1)，向量 a＝ 2i－3j，则向量 a 的坐标为 ． 解析：由平面向量坐标的定义可得． 答案：(2，－3) 知识点二 平面向量加、减的坐标运算 【情境导入】 问题：已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出 a＋b，a－b 的坐标吗？ 提示：(1)a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1i＋x2i)＋(y1j＋y2j) ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， 所 以 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). (2)a－b＝(x1i＋y1j)－(x2i＋y2j)＝(x1i－x2i)＋(y1j－y2j) ＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， 所以 a－b＝(x1－x2，y1－y2). 【知识概括】 设向量 a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ， 数学公式 文字语言表述 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 已知 A(x1，y1)，B(