第六章 6．3．1　平面向量基本定理（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

得λ<4 7 ，又λ 1 ≠－1 3 ，λ≠－1 ， 3 －∞，－1 －1，4 故λ的取值范围是 3 ∪ 3 7 . 2π －∞，－1 －1，4 答案：(1) 3 (2) 3 ∪ 3 7 17．已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角为 120° . (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求 k 的取值范围． 解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且 a，b，c 之间夹角均为 120° ，所以(a －b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120° －|b||c|·cos 120° ＝0，所以(a－b)⊥c． (2)因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1， 即 k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. 因为 a·b＝a·c＝b·c＝cos 120° ＝－1 ， 2 所以 k2－2k>0，解得 k<0 或 k>2， 即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}． 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课程标准 核心素养 1.数学抽象：了解基底的含义，理解 理解平面向量基本定理及其 并掌握平面向量基本定理． 意义． 2．逻辑推理：会用基底表示平面内 任一向量. 知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线的力． 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？ 提示：将两个不共线的向量及任一向量的起点平移到同一点，利用平行四边形法则以及数乘向量，可知平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． 【知识概括】 ( 条件 )平面向量基本定理 ( e 1 ， e 2 是同一平面内的两个 不共线 的向量 ) 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使 a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若向量 e1，e2 不共线，则{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【要点解读】 平面向量基本定理的关注点 ①e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量 a 都可用 e1，e2 线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底； ④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性． [示例](教材 P27 练习 1 改编)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 DC ( AB ) ( ， AC ) ( AF )的中点，F 是 EC 的中点，若 → ＝a → ＝b，则用 a，b 表示→ 的结果为 ． ( CB ) ( AB ) ( AC )解析：由题意，可得→ ＝ → － → ＝a－b， ∵D 是 BC 的中点，E 是 DC 的中点，F 是 EC 的中点， ( ∴ ) ( ＝ )→ 1 → CD CB 2 ＝1 (a－b)． 2 ( CE )同理， → 1 → 1 ＝ CD ＝ 2 4 (a－b)， → 1 → ( CF )＝ CE 2 ＝1 (a－b)， 8 ( ∴ ) ( ＝ )→ → AF AC → ＝b＋1 ( ＋ ) ( CF )8 (a－b)＝1 8 a＋7 b． 8 ( AF )答案： → [对点练] ＝1 a＋7 b 8 8 如图，已知 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点 G，若→ ＝a， → ＝b，用 a，b 表示→ ＝ ． AB AD ( AG ) ( ＝ ) ( ＋ ) ( AB ) ( BE )解析： → → → AG ( ＋ ) ( EG )→ ＝a＋1 2 1 → ( b ＋ )BD 4 ＝a＋1 2 答案：3 4 b＋1 4 a＋3 4 (b－a)＝3 4 b a＋3 b． 4 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量基本定理的理解 对基底的理解 (1) 两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2) 一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋ x1＝x2， y2b，则 y1＝y2. [例 1]若 e1，e2 是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有 ．(填序号) ①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量 a，使得 a＝λe1＋μ