第六章 6．2．4　向量的数量积（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

→ → 1 AD＋AE 3 λ μ ， → → → → ( → → ) → 又因点 D，G，E 共线，设EG ＝tED ，则AG －AE ＝t AD－AE ，所以AG → ＝tAD ＋(1－t) → ， ( AE )→ → 1 ＝t， 3λ 1 1 因为AD ，AE 不共线，所以 1 ＝1－t， 两式相加即得λ ＋μ ＝3. 3μ 必要性：若1 λ ＋1 ＝3，又因点 A，G，F 共线， μ → → → → x ( → → ) x AD＋AE → → 则AG ＝xAF ＝ 2 AB＋AC ＝ λ 2 μ ＝tAD ＋(1－t) AE ， x ＝t， 2λ 所以 x ＝1－t， 两式相加得 x 2 ( ＝ )3 ，即 G 为△ ABC 重心． 2μ 故 G 为△ ABC 重心的充要条件是1 λ ＋1 ＝3. μ 6．2．4 向量的数量积 课程标准 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意 义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1. 数学抽象：理解平面向量的数量积的定义． 2. 直观想象：了解投影向量的概念． 3. 逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的夹角 问题：1.角是如何定义的？ 【情境导入】 2．类比角的概念，如何定义两个向量的夹角？ 提示：1.具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角 的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 2．向量有方向，可以把两个向量平移到同一起点，则转化为前面学习的角． 两向量的夹角 【知识概括】 → (1) 定义：已知两个非零向量 a，b(如图所示)，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a，OB ＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角． (2) 特例：①当θ＝0 时，向量 a 与 b 同向； ②当θ＝π时，向量 a 与 b 反向； ③当θ＝π 2 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b． 【要点解读】 0，π 两向量夹角θ的范围θ∈[0，π]，当 cos θ＞0 时，θ∈ 2 ；当 cos θ＜0 时， π，π θ∈ 2 ( ＝ )；当 cos θ＝0 时，θ π 2 . 夹角与两向量位置关系对应如下： 范围 0 0，π 2 π 2 π，π 2 π 图形 关系 a 与 b 同向 a 与 b 的夹角为锐角 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b a 与 b 的夹角为钝角 a 与 b 反向 [示例] 1．如图，等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 的中点， 指出如下各组向量的夹角． ( 与 ) ( ； )→ → (1) DE DF ( 与 ) ( ． )→ → (2) DE EF 解： → → (1) DE 与DF 的夹角是∠EDF＝60° . (2) ( EF ) ( DA ) ( DE ) ( EF ) ( DE ) ( DA )因为→ ＝ → ，所以→ 与→ 的夹角等于→ 与→ 的夹角，即∠EDA ＝120° . → → [对点练]1.在上题条件下，求〈DE ，EB 〉． → 解：如图所示，延长 FD 到 B′，使 DB′＝FD，则DB → ′＝EB → ，则DE → 与EB 的 → 夹角等于DE → 与DB ′的夹角，即∠EDB′＝120° . 知识点二 平面向量的数量积 【情境导入】 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力 F 的大小为|F|N，小车在水平面上位移 s 的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为． 问题：(1)功 W 与力向量 F 及位移向量 s 有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量 a，b，能确定一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 提示：(1)W=|F||s|cos θ． (2)一般地，给定任意两个向量 a，b，能确定一个类似的标量．这个标量为两向量的模长乘以其夹角的余弦． 1. 向量的数量积 【知识概括】 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ．规定零向量与任一向量的数量积为 0． 2. 投影向量 → 如图①，设 a，b 是两个非零向量，AB → ＝a，CD → ＝b，过AB 的起点 A 和终 → 点 B，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为 A1，