第六章 6．2．3　向量的数乘运算（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

→ 8. 边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB ( D ． 3 )A．1 B．2 C． 3 2 → －BC |的值为( ) 解析： 选 D.如图，延长 AB 到 D.使 AB＝BD， → ∴AB → ＝BD ， → ∴|AB → －BC → |＝|BD → －BC → |＝|CD |， ∵△ABC 为边长为 1 的正三角形， ∴∠ABC＝60° ，∴∠D＝∠BCD＝30° ， ∴△ACD 为直角三角形， ( | AD| － | → 2 AC| → 2 )∴ → |DC |＝ ＝ 3 ， → ∴|AB → －BC |＝ 3 . 9. 三个大小相同的力 a，b，c 作用在同一物体 P 上，使物体 P 沿 a 方向做匀 → 速运动，设PA → ＝a，PB → ＝b，PC ＝c，判断△ABC 的形状． 解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为 0，即 a＋b ＋c＝0.所以 a＋c＝－b.如图，作菱形 APCD． → 则PD ＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120° . 同理∠APB＝∠BPC＝120° . 又因为|a|＝|b|＝|c|， 所以△ABC 为等边三角形． 6.2.3 向量的数乘运算 课程标准 核心素养 1．通过实例分析，掌握平面向量数 乘运算及运算规则，理解其几何意 1．数学抽象：了解向量数乘的概念 并理解数乘运算的几何意义． 义，理解两个平面向量共线的含义． 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 2．数学运算：理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 3．逻辑推理：理解并掌握两向量共 线的性质及判定方法，并能熟练地 运用这些知识处理有关向量共线问 题． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的数乘运算 【情境导入】 在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？ 这是因为在同一方向上光速远远大于音速，经测量，光速大小约为音速的 8.7×105 倍． 问题：(1)光速和音速是向量还是数量？ (2)“同一方向上”的光速和音速有什么关系？ (3)如何描述同一方向上光速和音速的关系？ 提示：(1)速度既有大小又有方向，所以是向量． (2)“同一方向上”的光速和音速是两个共线向量，且方向相同． (3)光速可以用音速乘 8.7×105 来表示. 【知识概括】 一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量．这种运算叫做向量的数乘， 记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反． 由(1)可知，当λ＝0 时，λa＝0． 由(1)(2)可知，(－1)a＝－a． 1. 数乘的理解 【要点解读】 (1) 数乘向量的结果仍是一个向量．λa 中的实数λ叫做向量 a 的系数； (2) 不要忽略特殊情况：当λ＝0 时，λa＝0.当λ≠0 时，若 a＝0，也有λa＝0； (3) 实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2. 向量数乘的几何意义是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向伸长或缩短．当λ ＞0 时，沿着 a 的方向伸长为原来的λ(λ＞1)倍或缩短为原来的(0<λ<1) λ；当λ＜0 时，沿着 a 的反方向伸长为原来的|λ|(|λ|＞1)倍或缩短为原来的(|λ|<1) |λ|． [示例]1.(教材 P15 练习 2 改编)若|a|＝5，b 与 a 方向相反，且|b|＝7，则 a＝ b. 解析：由题意知 a＝－5 b． 7 答案：－5 7 [对点练]1.判断正误． (1)λa 的方向与 a 的方向一致．( ) (2)若λa＝0，则 a＝0.( ) (3)对于任意实数 m 和向量 a，b，若 ma＝mb，则 a＝b．( ) 解析：(1)a≠0 时，若λ<0，则λa 与 a 方向相反； (2) 也可能λ＝0； (3) 当 m＝0 时，结论不一定成立． 答案：(1)× (2)× (3)× 知识点二 向量数乘的运算律 【情境导入】 问题：求作向量 3(2a)和 6a，(2＋3)a 和 2a＋3a，2(a＋b)和 2a＋2b(a 为非零向量)，并进行比较． 提示： 由图形可以得出：3(2a)＝6a，(2＋3)a＝2a＋3a，2(a＋b)＝2a＋2b. 【知识概括】 1. 设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb． 2. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)