第六章 6．1　平面向量的概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课程标准 核心素养 1. 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2. 理解平面向量的几何表示和基本要素． 1. 数学抽象：理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念． 2. 逻辑推理：会区分平行向量、 相等向量和共线向量． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量的概念 【情境导入】 问题：1.如图，一只老鼠由 A 向东北方向以 2 m/s 的速度逃窜(路线为 AC)， 一只猫在 B 处向正东方向以 6 m/s 的速度去追老鼠(路线为 BD).请问：猫能否追到老鼠？ 2．质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 提示：1.老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线都有方向，虽然猫的速度比老鼠快， 但方向不一致，所以追不到老鼠． 2．质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向． 【知识概括】 (1)在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量； (2)把只有大小没有方向的量称为数量． 【要点解读】 (1) 数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小．如质量、长度、面积、体积、年龄等都是数量． (2) 向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． [示例]1.(教材 P4 练习 1 改编)下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度， 所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B.身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对于②，∠AOB 的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选 B. [对点练]1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位 移．下列说法正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 解析：选 D.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量． 知识点二 向量的几何表示 【情境导入】 问题：1.在预报天气时，温度和相对湿度都只用一个实数就可以确切地表示， 而风是如何确切表示的呢？ 2．当有人向你问路时，你一般如何向对方描述目的地？ 提示：1.除了用一个实数说明“风力”外，还要给出“风向”，如东南风 3 级． 2．一般会告诉对方目的地的方向和大约距离． 【知识概括】 1. 有向线段 (1) 定义：在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段． (2) ( AB )记法：以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作→ ． → (3) 线段 AB 的长度也叫做有向线段AB 2. 向量的表示 → 的长度，记作|AB |． (1) ( AB ) ( CD ) ( . )一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如→ ， → (2) 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母 a， → b，c，…(印刷用黑体，书写时写成带箭头的小写字母 a 3. 向量的相关概念 → → ，b ，c ，…). 向量的模 向量→ 的大小称为向量→ 的长度(或称模)，记作 AB AB | → | AB 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 单位 向量 长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量 【要点解读】 1. ( 区别 )有向线段只是表示向量的一个图形工具，它与向量的区别和联系如下： ( 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有 起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．有 向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 ) ( 向量可以用有向线段来表示，并不是说向量就是有向线段 ，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应 着无 数多条有向线段 ) 2. ( 联系 )零向量的长度为 0，方向不确定． 3. 单位向量有无数个，它们长度相等，但方向不一定相同．如果将平面上所 有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为 1 的圆． 4. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 知识点三 相等向量与共线向量 【情境导入】 问题：1.上体育课时，某一排同学整理好队形，并执行老师的口令“向前三 步走，向右看齐”之后，同学们位移的方向是否相同？位移的大小是否相等？能否认为这些同学的位移是相同的？ 2．设 A，B 两点，“从 B 到 A 的位移”与“从 A 到 B 的位移”有什么关系？ 提示