第六章 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

17．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作 AE⊥BD 交 BC 于点 E，求证 BE∶EC＝2∶3. ( 证明：法一 设 BA ) ( ＝ ) ( ， BC ) ( ＝ )→ a → b，则|a| ＝1，|b| ＝2， ( 则 ) ( ＝ )a·b |a| ·|b| cos 60°＝1， → ＝a＋b， ( BD )→ 设BE → ＝λBC → ＝λb，则AE → ＝BE → －BA ＝λb－a， → 因为 AE⊥BD，所以AE → · BD ＝0，即 (λb－a) · (b＋a) ＝0，解得λ 2 ， ( ＝ )5 所以 BE∶EC＝2 5 ∶3 ＝2∶3. 5 法二 以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图， 设 B(0，0)，C(2，0)，则 A(1 2 ， 3 2 )，D(5 2 ， 3 ). 2 → 设 E(m，0)，则BD ＝(5 2 ， 3 2 → )，AE ＝(m－1 ，－ )， ( 3 )2 2 → 由 AE⊥BD，得AE → · BD ＝0， ( － ) ( 即 )5 (m 1 2 2 )－ 3 2 × 3 2 ＝0，解得 m＝4 ， 5 所以 BE∶EC＝4 5 ∶6 ＝2∶3. 5 6．4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课程标准 核心素养 1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1. 数学建模、逻辑推理：会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2. 数学建模、数学运算：会用向量方法解决物理中的速度、力学问 题． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量在平面几何中的应用 【情境导入】 问题：通过前面我们学习的向量知识，你认为能够解决哪些平面几何中的问 题？ 提示：平面几何中求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，都可 以转化为平面向量中的模长、夹角、垂直问题解决． 【知识概括】用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【要点解读】 用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． [示例]1.(教材 P38 例 1 改编)在△ABC 中，点 M，N 分别在线段 AB，AC 上， AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC. → 证明：设AB → ＝a，AC → ＝b，则BC → ＝AC → －AB ＝b－a． → 又 AM＝2MB，AN＝2NC.所以AM 2 → 2 ＝ AB ＝ 3 3 → 2 a，AN ＝ 3 → 2 AC ＝ b． 3 → 在△AMN 中，MN → ＝AN → －AM 2 (b－a) ， ( ＝ )3 → 所以MN 2 → ＝ BC 3 → ，即MN → 与BC 共线，故 MN∥BC. → [对点练]1.在四边形 ABCD 中，AC 的面积． ＝(1，2) → ，BD ＝(－4，2) ，求该四边形 → 解：因为在四边形 ABCD 中，AC → ＝(1，2)，BD → ＝(－4，2)，AC → · BD ＝0， → 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又|AC |＝ 12＋22 ＝ 5 ， → 2 2 |BD |＝ （－4） ＋2 ＝2 5 ， 所以该四边形的面积为1 2 → |AC → |·|BD |＝1 2 × 5 ×2 5 ＝5. 知识点二 向量在物理中的应用 【情境导入】 在生活中，你是否有下面这样的经验？ 两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力． 在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力． 问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？ 提示：从力的合成与分解方面进行解释，详见教材例 3. 【知识概括】 (1) 物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2) 向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积． 【要点解读】向量在物理中应用时要注意三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识． [示例]2.(教材 P41 例 4 改编)河水的流速为 2 m/s，一艘