第六章 6．3．5　平面向量数量积的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

若每个单元格长为 1，则 a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(3，4)，又 c＝λa＋μb， λ＋2μ＝3， 所以(3，4)＝(λ，2λ)＋(2μ，－μ)＝(λ＋2μ，2λ－μ)，即 λ＝11， 可得 2λ－μ＝4， 5 ( ＝ )2 所以λ－μ 9 . μ＝ ， 5 5 答案：9 5 12．已知△ABC 的顶点 A(－1，2)，B(1，3)，C(4，－1)，在边 AC 上求一点 ( △ ) ( △ )D，使 S ABD＝1 S ABC，则 D 点坐标为 ． 3 → 1 → 解析：由题，只要AD ＝ 3 AC 即可． → 1 设点 D 的坐标为(x，y)，当AD ＝ 3 → → 1 → ( ， )AC 时，AD ＝ DC 2 －1＋1×4 则 x＝ 2 ＝2 1＋1 3 2 2＋1×（－1） ，y＝ 2 1＋1 2 2，1 ＝1，所以点 D 的坐标为 3 . 2，1 答案： 3 6．3．5 平面向量数量积的坐标表示 课程标准 核心素养 1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 2．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 1. 数学运算：掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积． 2. 逻辑推理：能根据向量的坐标 计算向量的模、夹角及判定两个向 量垂直． 知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 问题：1.已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 a·b 如何用 a，b 的坐标表示？ 2．前面我们学习的两个向量数量积公式、模长公式以及垂直的充要条件分别 是什么？ 提示：1.a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2， 因为 i2＝|i|2＝1，j2＝|j|2＝1，i·j＝j·i＝0， 所以 a·b＝x1x2＋y1y2. 2．数量积公式：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；模长公式：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a ； 垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0. 【知识概括】 1．平面向量数量积的坐标表示 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．平面向量模的坐标形式 ( x 2 ＋ y 2 )(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝ ． (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2) ， 那么 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ ． ( 2 2 ( x 2 － x 1 ) ＋ ( y 2 － y 1 ) )3．平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设 a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量夹角的坐标表示 设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2) ，θ是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ a·b |a||b| x1x2＋y1y2 ( x ＋ y 2 1 x 2 ＋ y 2 2 2 )＝ ． 【要点解读】 1. 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，简记为“对应相乘计算和”． x y a ， 2. 与向量a 同向的单位向量a0＝ |a| ，若a＝(x，y)，则a0＝ x2＋y2 x2＋y2 . 3. 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量 b 在向量 a 方向上投影的数量的坐标 x1x2＋y1y2 ( x 2 ＋ y 2 1 1 )形式为 . 4. 要注意区分两个向量垂直与平行的坐标表示形式，垂直的坐标表示可简记为“横横纵纵积相反”． [示例](教材P34 例11 改编)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0) ， e2＝(0，1) ． (1)求 a·b，|a＋b| ； (2)求 a 与 b 的夹角的余弦值． 解：(1)因为 e1＝(1，0) ，e2＝(0，1) ，所以 a＝(3，－2) ，b＝(4，1) ，a＋b ＝(7，－1) ， 则 a·b＝3×4＋(－2) ×1＝10，|a＋b| ＝ ( 2 7 2 ＋ ( － 1 ) )＝5 2 . (2)由(1)得|a| ＝ ( 2 3 2 ＋ ( － 2 ) )＝ 13 ，|b|＝ 42＋12 ＝ 17 ， 所以 cos 〈a，b〉＝ a·b |a|·|b| ＝ 10 ＝ 13· 17 . ( 10 221 )221 [对点练](多选)已知向量 a＝(1， 3) ，b＝(－1，0) ，则( ) A．a－2b＝(2， 3) B．|a| ＝2|b| C．(a＋b) ⊥b D