第六章 6．4．1 平面几何中的向量方法 6．4．2 向量在物理中的应用举例（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） ▱ ▱ 6．4　平面向量的应用 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例 课程标准 核心素养 1．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1．数学建模、逻辑推理：会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2．数学建模、数学运算：会用向量方法解决物理中的速度、力学问题． 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　向量在平面几何中的应用 【情境导入】 问题：通过前面我们学习的向量知识，你认为能够解决哪些平面几何中的问题？ 提示：平面几何中求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，都可以转化为平面向量中的模长、夹角、垂直问题解决． 【知识概括】 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【要点解读】 用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． [示例]1.(教材P38例1改编)在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC. 证明：设 ＝a， ＝b，则 ＝ － ＝b－a． 又AM＝2MB，AN＝2NC.所以 ＝＝ eq \f(2,3) a， ＝＝ eq \f(2,3) b． 在△AMN中， ＝ － ＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a)) ， 所以 ＝，即 与 共线，故MN∥BC. 解：因为在四边形ABCD中， ＝(1，2)， ＝(－4，2)， · ＝0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又| |＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ， | |＝ eq \r(（－4）2＋22) ＝2 eq \r(5) ， 所以该四边形的面积为 eq \f(1,2) | |·| |＝ eq \f(1,2) × eq \r(5) ×2 eq \r(5) ＝5. [对点练]1.在四边形ABCD中， ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) ， ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，2)) ，求该四边形的面积． 知识点二　向量在物理中的应用 【情境导入】 在生活中，你是否有下面这样的经验？ 两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力． 在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力． 问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？ 提示：从力的合成与分解方面进行解释，详见教材例3. 【知识概括】 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 【要点解读】 向量在物理中应用时要注意三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识． [示例]2.(教材P41例4改编)河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　 ) A．10 m/s B．2 eq \r(26) m/s C．4 eq \r(6) m/s D．12 m/s 解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小|v|＝ eq \r(102＋22) ＝2 eq \r(26) (m/s). 答案：B [对点练]2.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________． 解析：∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)， ＝(－1，4). ∴F· ＝－1×8－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功等于－40. 答案：－40 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 利用向量解决平面几何中的问题 角度1　证明(判断)平行或共线问题 用向量法证明平面几何中AB∥CD的两种方法 法一　①选择一组向量作基底；②用基底表示 和 ；③寻找实数λ，使 ＝λ ，即 ∥ ；④给出几何结论AB∥CD. 法二　先